42

Tôi bị bối rối. Tôi không hiểu sự khác biệt giữa quy trình ARMA và quy trình GARCH .. với tôi có giống nhau không?

Đây là quá trình (G) ARCH (p, q)

σ_{t}^{2} = \underset{G A R C H}{\underset{⏟}{\underset{A R C H}{\underset{⏟}{α_{0} + \sum_{i = 1}^{q} α_{i} r_{t - i}^{2}}} + \sum_{i = 1}^{p} β_{i} σ_{t - i}^{2}}}

$\sigma_t^2 = \underbrace{ \underbrace{ \alpha_0 + \sum_{i=1}^q \alpha_ir_{t-i}^2} _{ARCH} + \sum_{i=1}^p\beta_i\sigma_{t-i}^2} _{GARCH}$

Và đây là ARMA ( ): $p, q$

X_{t} = c + ε_{t} + \sum_{i = 1}^{p} φ_{i} X_{t - i} + \sum_{i = 1}^{q} θ_{i} ε_{t - i} .

$X_t = c + \varepsilon_t + \sum_{i=1}^p \varphi_i X_{t-i} + \sum_{i=1}^q \theta_i \varepsilon_{t-i}.\,$

Có phải ARMA chỉ đơn giản là một phần mở rộng của GARCH, GARCH chỉ được sử dụng để trả về và với giả định trong đó tuân theo quy trình trắng mạnh mẽ? $r = \sigma\varepsilon$ $\varepsilon$

arima garch finance

— John
nguồn

1

Ngoài câu trả lời của fg nu, quy trình phương sai trong GARCH còn thay đổi theo thời gian. Tuy nhiên, có một mẹo ở đây là đưa ra một chuỗi thời gian hoàn vốn log500 của SP500, sau đó để có được quy trình biến động chúng ta phải làm gì? Một số người nói rằng chúng ta cần sử dụng mô hình ARMA để rút chuỗi dư, sau đó cắm chuỗi dư này vào mô hình GARCH để có được quy trình phương sai có điều kiện? Hoặc cắm trực tiếp phích ghi nhật ký cắm quá trình trả lại nhật ký của SP500 vào mô hình GARCH để thu được phương sai có điều kiện?

48

Bạn đang kết hợp các tính năng của một quá trình với đại diện của nó. Hãy xem xét quá trình (trả lại) . $(Y_t)_{t=0}^\infty$

Mô hình ARMA (p, q) chỉ định giá trị trung bình có điều kiện của quy trình là

\begin{aligned} E (Y_{t} ∣ I_{t}) & = α_{0} + \sum_{j = 1}^{p} α_{j} Y_{t - j} + \sum_{k = 1}^{q} β_{k} ϵ_{t - k} \end{aligned}

$\begin{align} \mathbb{E}(Y_t \mid \mathcal{I}_t) &= \alpha_0 + \sum_{j=1}^p \alpha_j Y_{t-j}+ \sum_{k=1}^q \beta_k\epsilon_{t-k}\\ \end{align}$ Ở đây, là thông tin được đặt tại thời điểm , đó là -đau khớp được tạo bởi các giá trị bị trễ của quá trình kết quả .

I_{t}

$\mathcal{I}_t$

t

$t$

σ

$\sigma$

(Y_{t})

$(Y_t)$

Mô hình GARCH (r, s) chỉ định phương sai có điều kiện của quy trình $\begin{aligned} V (Y_{t} ∣ I_{t}) & = & V (ϵ_{t} ∣ I_{t}) \\ \equiv & σ_{t}^{2} & = & δ_{0} + \sum_{l = 1}^{r} δ_{j} σ_{t - l}^{2} + \sum_{m = 1}^{s} γ_{k} ϵ_{t - m}^{2} \end{aligned}$ $\begin{alignat}{2} & \mathbb{V}(Y_t \mid \mathcal{I}_t) &{}={}& \mathbb{V}(\epsilon_t \mid \mathcal{I}_t) \\ \equiv \,& \sigma^2_t&{}={}& \delta_0 + \sum_{l=1}^r \delta_j \sigma^2_{t-l} + \sum_{m=1}^s \gamma_k \epsilon^2_{t-m} \end{alignat}$

Đặc biệt lưu ý sự tương đương đầu tiên . $\mathbb{V}(Y_t \mid \mathcal{I}_t)= \mathbb{V}(\epsilon_t \mid \mathcal{I}_t)$

Ngoài ra : Dựa trên biểu diễn này, bạn có thể viết trong đó là một quá trình nhiễu trắng mạnh, nhưng điều này tuân theo cách xác định quy trình.

ϵ_{t} \equiv σ_{t} Z_{t}

$\epsilon_t \equiv \sigma_t Z_t$

Z_{t}

$Z_t$

Hai mô hình (cho trung bình có điều kiện và phương sai) hoàn toàn tương thích với nhau, trong đó giá trị trung bình của quá trình có thể được mô hình hóa thành ARMA và phương sai là GARCH. Điều này dẫn đến đặc điểm kỹ thuật đầy đủ của mô hình ARMA (p, q) -GARCH (r, s) cho quy trình như trong biểu diễn sau $\begin{aligned} Y_{t} & = α_{0} + \sum_{j = 1}^{p} α_{j} Y_{t - j} + \sum_{k = 1}^{q} β_{k} ϵ_{t - k} + ϵ_{t} \\ E (ϵ_{t} ∣ I_{t}) & = 0, \forall t \\ V (ϵ_{t} ∣ I_{t}) & = δ_{0} + \sum_{l = 1}^{r} δ_{l} σ_{t - l}^{2} + \sum_{m = 1}^{s} γ_{m} ϵ_{t - m}^{2} \forall t \end{aligned}$ $\begin{align} Y_t &= \alpha_0 + \sum_{j=1}^p \alpha_j Y_{t-j} + \sum_{k=1}^q \beta_k\epsilon_{t-k} +\epsilon_t\\ \mathbb{E}(\epsilon_t\mid \mathcal{I}_t) &=0,\, \forall t \\ \mathbb{V}(\epsilon_t \mid \mathcal{I}_t) &= \delta_0 + \sum_{l=1}^r \delta_l \sigma^2_{t-l} + \sum_{m=1}^s \gamma_m \epsilon^2_{t-m}\, \forall t \end{align}$

— tchakravarty
nguồn

Bạn không nên điều chỉnh thông tin tại thời điểm nếu tất cả các biến hồi quy bị trễ?

t - 1

$t-1$

— Jase

@Jase Lưu ý định nghĩa, "Ở đây, là thông tin được đặt tại thời điểm , đó là -đau khớp được tạo bởi các giá trị bị trễ của quá trình kết quả ." Đó là, . Một số tác giả viết điều này dưới dạng nhưng điều đó trái ngược với khái niệm về một bộ thông tin tại thời điểm .

I_{t}

$\mathcal{I}_t$

t

$t$

σ

$\sigma$

(Y_{t})

$(Y_t)$

I_{t} = σ (Y_{t - 1}, Y_{t - 2} \dots,)

$\mathcal{I}_t = \sigma(Y_{t-1}, Y_{t-2}\ldots,)$

I_{t - 1}

$\mathcal{I}_{t-1}$ $t$

— tchakravarty

Đẹp! Bạn có biết tại sao chúng ta sử dụng đại số sigma mà không phải lọc không?

— Jase

1

@Jase, chuỗi các bộ thông tin tạo thành một bộ lọc .

(I_{t})_{t = 0}^{\infty}

$(\mathcal{I}_t)_{t=0}^\infty$

— tchakravarty

16

Chỉnh sửa: Tôi nhận ra câu trả lời là thiếu và do đó đã cung cấp một câu trả lời chính xác hơn (xem bên dưới - hoặc có thể ở trên). Tôi đã chỉnh sửa cái này cho những sai lầm thực tế và đang để nó cho hồ sơ.

Các thông số lấy nét khác nhau:

ARMA là một mô hình để hiện thực hóa một quy trình ngẫu nhiên áp đặt một cấu trúc cụ thể của giá trị trung bình có điều kiện của quy trình.
GARCH là một mô hình để hiện thực hóa một quy trình ngẫu nhiên áp đặt một cấu trúc cụ thể của phương sai điều kiện của quy trình.

~~Mô hình ngẫu nhiên so với mô hình xác định:~~

ARMA là một mô hình ngẫu nhiên theo nghĩa là biến phụ thuộc - hiện thực hóa quá trình ngẫu nhiên - được chỉ định là tổng của hàm xác định của biến phụ thuộc trễ và lỗi mô hình bị trễ (trung bình có điều kiện) và thuật ngữ lỗi ngẫu nhiên.
GARCH là một mô hình xác định theo nghĩa là biến phụ thuộc - phương sai điều kiện của quá trình - là một hàm xác định thuần túy của các biến bị trễ.

— Richard Hardy
nguồn

1

Phương sai có điều kiện của quy trình GARCH là một định thức theo nghĩa được xác định của bạn, nhưng quá trình GARCH không phải, vì và không phụ thuộc vào độ trễ của .

r_{t} = σ_{t} ε_{t}

$r_t=\sigma_t\varepsilon_t$

ε_{t}

$\varepsilon_t$

t

$t$

— mpiktas

1

@mpiktas, Đúng. Nếu mô hình GARCH chứa hai phương trình, một cho trung bình có điều kiện (một ví dụ mà bạn đã viết ở trên) và một cho phương sai có điều kiện (theo trực giác, mặc dù không phải là toán học, "phương trình chính" của mô hình), đối số của tôi chỉ áp dụng đến phương trình sau.

— Richard Hardy

10

ARMA

Hãy xem xét tuân theo quy trình ARMA ( ). Giả sử cho đơn giản, nó có giá trị trung bình bằng không và phương sai không đổi. Có điều kiện về thông tin , có thể được phân vùng thành một phần đã biết (được xác định trước) (là giá trị trung bình có điều kiện của cho ) và một phần ngẫu nhiên : $y_t$ $p,q$ $I_{t-1}$ $y_t$ $\mu_t$ $y_t$ $I_{t-1}$ $u_t$

\begin{aligned} y_{t} & = μ_{t} + u_{t}; \\ μ_{t} & = φ_{1} y_{t - 1} + \dots + φ_{p} y_{t - p} + θ_{1} u_{t - 1} + \dots + θ_{q} u_{t - q} (known, predetermined); \\ u_{t} | I_{t - 1} & \sim D (0, σ^{2}) (random) \end{aligned}

$\begin{aligned} y_t &= \mu_t + u_t; \\ \mu_t &= \varphi_1 y_{t-1} + \dotsc + \varphi_p y_{t-p} + \theta_1 u_{t-1} + \dotsc + \theta_q u_{t-q} \ \ \text{(known, predetermined)}; \\ u_t | I_{t-1} &~\sim D(0,\sigma^2) \ \ \text{(random)} \\ \end{aligned}$

Trong đó là một số mật độ. $D$

Trung bình có điều kiện tự theo một quy trình tương tự ARMA ( ) nhưng không có thuật ngữ lỗi đương thời ngẫu nhiên: trong đó ; cho ; và cho . Lưu ý rằng quá trình này có thứ tự ( ) chứ không phải ( ) như . $\mu_t$ $p,q$

μ_{t} = φ_{1} μ_{t - 1} + \dots + φ_{p} μ_{t - p} + (φ_{1} + θ_{1}) u_{t - 1} + \dots + (φ_{m} + θ_{m}) u_{t - m},

$\mu_t = \varphi_1 \mu_{t-1} + \dotsc + \varphi_p \mu_{t-p} + (\varphi_1 + \theta_1) u_{t-1} + \dotsc + (\varphi_m + \theta_m) u_{t-m},$

m := max (p, q)

$m:=\max(p,q)$

φ_{i} = 0

$\varphi_i=0$

i > p

$i>p$

θ_{j} = 0

$\theta_j=0$

j > q

$j>q$

p, m

$p,m$

p, q

$p,q$

y_{t}

$y_t$

Chúng ta cũng có thể viết phân phối có điều kiện của theo các phương tiện có điều kiện trong quá khứ của nó (chứ không phải là các giá trị được nhận ra trong quá khứ) và các tham số mô hình như $y_t$

\begin{aligned} y_{t} & \sim D (μ_{t}, σ_{t}^{2}); \\ μ_{t} & = φ_{1} μ_{t - 1} + \dots + φ_{p} μ_{t - p} + (φ_{1} + θ_{1}) u_{t - 1} + \dots + (φ_{m} + θ_{m}) u_{t - m}; \\ σ_{t}^{2} & = σ^{2}, \end{aligned}

$\begin{aligned} y_t &\sim D(\mu_t,\sigma_t^2); \\ \mu_t &= \varphi_1 \mu_{t-1} + \dotsc + \varphi_p \mu_{t-p} + (\varphi_1 + \theta_1) u_{t-1} + \dotsc + (\varphi_m + \theta_m) u_{t-m}; \\ \sigma_t^2 &= \sigma^2, \end{aligned}$

Biểu diễn sau giúp việc so sánh ARMA với GARCH và ARMA-GARCH dễ dàng hơn.

TÌM KIẾM

Hãy xem xét tuân theo quy trình GARCH ( ). Giả sử cho đơn giản nó có ý nghĩa không đổi. Sau đó $y_t$ $s,r$

\begin{aligned} y_{t} & \sim D (μ_{t}, σ_{t}^{2}); \\ μ_{t} & = μ; \\ σ_{t}^{2} & = ω + α_{1} u_{t - 1}^{2} + \dots + α_{s} u_{t - s}^{2} + β_{1} σ_{t - 1}^{2} + \dots + β_{r} σ_{t - r}^{2}; \\ \frac{u_{t}}{σ_{t}} & \sim i . i . D (0, 1), \end{aligned}

$\begin{aligned} y_t &\sim D(\mu_t,\sigma_t^2); \\ \mu_t &= \mu; \\ \sigma_t^2 &= \omega + \alpha_1 u_{t-1}^2 + \dotsc + \alpha_s u_{t-s}^2 + \beta_1 \sigma_{t-1}^2 + \dotsc + \beta_r \sigma_{t-r}^2; \\ \frac{u_t}{\sigma_t} &\sim i.i.D(0,1), \\ \end{aligned}$

trong đó và là một số mật độ. $u_t:=y_t-\mu_t$ $D$

Phương sai điều kiện tuân theo một quy trình tương tự như ARMA ( ) nhưng không có thuật ngữ lỗi đương thời ngẫu nhiên. $\sigma_t^2$ $s,r$

ARMA-TÌM KIẾM

Hãy xem xét có giá trị trung bình vô điều kiện và tuân theo quy trình ARMA ( ) -GARCH ( ). Sau đó $y_t$ $p,q$ $s,r$

\begin{aligned} y_{t} & \sim D (μ_{t}, σ_{t}^{2}); \\ μ_{t} & = φ_{1} μ_{t - 1} + \dots + φ_{p} μ_{t - p} + (φ_{1} + θ_{1}) u_{t - 1} + \dots + (φ_{m} + θ_{m}) u_{t - m}; \\ σ_{t}^{2} & = ω + α_{1} u_{t - 1}^{2} + \dots + α_{s} u_{t - s}^{2} + β_{1} σ_{t - 1}^{2} + \dots + β_{r} σ_{t - r}^{2}; \\ \frac{u_{t}}{σ_{t}} & \sim i . i . D (0, 1), \end{aligned}

$\begin{aligned} y_t &\sim D(\mu_t,\sigma_t^2); \\ \mu_t &= \varphi_1 \mu_{t-1} + \dotsc + \varphi_p \mu_{t-p} + (\varphi_1 + \theta_1) u_{t-1} + \dotsc + (\varphi_m + \theta_m) u_{t-m}; \\ \sigma_t^2 &= \omega + \alpha_1 u_{t-1}^2 + \dotsc + \alpha_s u_{t-s}^2 + \beta_1 \sigma_{t-1}^2 + \dotsc + \beta_r \sigma_{t-r}^2; \\ \frac{u_t}{\sigma_t} &\sim i.i.D(0,1), \\ \end{aligned}$

trong đó ; là một số mật độ, ví dụ Bình thường; cho ; và cho . $u_t:=y_t-\mu_t$ $D$ $\varphi_i=0$ $i>p$ $\theta_j=0$ $j>q$

Các trung bình có điều kiện theo đúng thủ tục để ARMA có về cơ bản hình dáng giống như sai có điều kiện theo đúng thủ tục để GARCH, chỉ là đơn đặt hàng trễ có thể khác nhau (cho phép một nghĩa khác không vô điều kiện của không nên thay đổi kết quả này đáng kể). Điều quan trọng là, không có thuật ngữ lỗi ngẫu nhiên một khi được quy định trên , do đó cả hai đều được xác định trước. $y_t$ $I_{t-1}$

— Richard Hardy
nguồn

3

Các quy trình ARMA và GARCH rất giống nhau trong phần trình bày của họ. Đường phân chia giữa hai phần rất mỏng vì chúng ta có GARCH khi quy trình ARMA được giả sử cho phương sai lỗi.

— người dùng36853
nguồn

Sự khác biệt giữa GARCH và ARMA là gì?

ARMA

TÌM KIẾM

ARMA-TÌM KIẾM