Câu trả lời:
Nó là không thể.
Hãy xem xét một chuỗi của các biến ngẫu nhiên, trong đó
Sau đó:
Nhưng tiến đến 0 khi đi đến vô cùng:n
Ví dụ này sử dụng thực tế là là bất biến dưới các bản dịch của , nhưng thì không.X V a r ( 1
Nhưng ngay cả khi chúng tôi giả sử , chúng tôi không thể tính toán : HãyV a r ( 1
và
Sau đó tiếp cận 1 khi chuyển sang vô cùng, nhưng cho tất cả .n V a r ( 1n
Bạn có thể sử dụng chuỗi Taylor để lấy xấp xỉ các khoảnh khắc thứ tự thấp của một biến ngẫu nhiên được chuyển đổi. Nếu phân phối khá 'chặt chẽ' xung quanh giá trị trung bình (theo một nghĩa cụ thể), thì phép tính gần đúng có thể khá tốt.
Ví dụ
vì thế
thường chỉ có thuật ngữ đầu tiên được thực hiện
Trong trường hợp này (giả sử tôi không mắc lỗi), với , . Var[1
Wikipedia: Taylor mở rộng cho các khoảnh khắc chức năng của các biến ngẫu nhiên
---
Một số ví dụ để minh họa điều này. Tôi sẽ tạo hai mẫu (phân phối gamma) trong R, một mẫu có phân phối 'không quá chặt chẽ' về giá trị trung bình và một mẫu chặt chẽ hơn một chút.
a <- rgamma(1000,10,1) # mean and variance 10; the mean is not many sds from 0
var(a)
[1] 10.20819 # reasonably close to the population variance
Giá trị gần đúng cho thấy phương sai của phải gần với( 1 / 10 ) 4 × 10 = 0,001
var(1/a)
[1] 0.00147171
Tính toán đại số cho thấy phương sai dân số thực tế là
Bây giờ cho người chặt chẽ hơn:
a <- rgamma(1000,100,10) # should have mean 10 and variance 1
var(a)
[1] 1.069147
Giá trị gần đúng cho thấy phương sai của phải gần với( 1 / 10 ) 4 × 1 = 0,0001
var(1/a)
[1] 0.0001122586
Tính toán đại số cho thấy phương sai dân số của đối ứng là .