Var (X) đã biết, làm thế nào để tính Var (1 / X)?

Nếu tôi chỉ có $\mathrm{Var}(X)$ , làm sao tôi có thể tính $\mathrm{Var}(\frac{1}{X})$ ?

Tôi không có bất kỳ thông tin về sự phân bố của $X$ , vì vậy tôi không thể sử dụng chuyển đổi, hoặc bất kỳ phương pháp khác mà sử dụng phân bố xác suất của $X$ .

distributions variance data-transformation

— CON CHUỘT
nguồn

Tôi nghĩ rằng điều này có thể giúp bạn.

— Christoph_J

Nó là không thể.

Hãy xem xét một chuỗi $X_n$ của các biến ngẫu nhiên, trong đó

P (X_{n} = n - 1) = P (X_{n} = n + 1) = 0.5

$P(X_n=n-1)=P(X_n=n+1)=0.5$

Sau đó:

V a r (X_{n}) = 1 for all n

$\newcommand{\Var}{\mathrm{Var}}\Var(X_n)=1 \quad \text{for all $n$}$

Nhưng tiến đến 0 khi đi đến vô cùng: $\Var\left(\frac{1}{X_n}\right)$ $n$

V một r (\frac{1}{X_{n}}) = = {(0,5 (\frac{1}{n + 1} - \frac{1}{n - 1}))}^{2}

$\Var\left(\frac{1}{X_n}\right)=\left(0.5\left(\frac{1}{n+1}-\frac{1}{n-1}\right)\right)^2$

Ví dụ này sử dụng thực tế là là bất biến dưới các bản dịch của , nhưng thì không. $\Var(X)$ $X$ $\Var\left(\frac{1}{X}\right)$

Nhưng ngay cả khi chúng tôi giả sử , chúng tôi không thể tính toán : Hãy $\mathrm{E}(X)=0$ $\Var\left(\frac{1}{X}\right)$

P (X_{n} = = - 1) = = P (X_{n} = = 1) = = 0,5 (1 - \frac{1}{n})

$P(X_n=-1)=P(X_n=1)=0.5\left(1-\frac{1}{n}\right)$

và

P (X_{n} = = 0) = = \frac{1}{n} cho n > 0

$P(X_n=0)=\frac{1}{n} \quad \text{for $n>0$}$

Sau đó tiếp cận 1 khi chuyển sang vô cùng, nhưng cho tất cả . $\Var(X_n)$ $n$ $\Var\left(\frac{1}{X_n}\right)=\infty$ $n$

— mogron
nguồn

Bạn có thể sử dụng chuỗi Taylor để lấy xấp xỉ các khoảnh khắc thứ tự thấp của một biến ngẫu nhiên được chuyển đổi. Nếu phân phối khá 'chặt chẽ' xung quanh giá trị trung bình (theo một nghĩa cụ thể), thì phép tính gần đúng có thể khá tốt.

Ví dụ

g (X) = = g (μ) + (X - μ) g^{'} (μ) + \frac{(X - μ)^{2}}{2} g^{"} (μ) + Giáo dục

$g(X) = g(\mu) + (X-\mu) g'(\mu) + \frac{(X-\mu)^2}{2} g''(\mu) + \ldots$

vì thế

\begin{array}{rcl} Var [g (X)] & = & Var [g (μ) + (X - μ) g^{'} (μ) + \frac{(X - μ)^{2}}{2} g^{″} (μ) + \dots] \\ = & Var [(X - μ) g^{'} (μ) + \frac{(X - μ)^{2}}{2} g^{″} (μ) + \dots] \\ = & g^{'} (μ)^{2} Var [(X - μ)] + 2 g^{'} (μ) Cov [(X - μ), \frac{(X - μ)^{2}}{2} g^{″} (μ) + \dots] \\ + Var [\frac{(X - μ)^{2}}{2} g^{″} (μ) + \dots] \end{array}

$\begin{eqnarray} \text{Var}[g(X)] &=& \text{Var}[g(\mu) + (X-\mu) g'(\mu) + \frac{(X-\mu)^2}{2} g''(\mu) + \ldots]\\ &=& \text{Var}[(X-\mu) g'(\mu) + \frac{(X-\mu)^2}{2} g''(\mu) + \ldots]\\ &=& g'(\mu)^2 \text{Var}[(X-\mu)] + 2g'(\mu)\text{Cov}[(X-\mu),\frac{(X-\mu)^2}{2} g''(\mu) + \ldots] \\& &\quad+ \text{Var}[\frac{(X-\mu)^2}{2} g''(\mu) + \ldots]\\ \end{eqnarray}$

thường chỉ có thuật ngữ đầu tiên được thực hiện

Var [g (X)] \approx g^{'} (μ)^{2} Var (X)

$\text{Var}[g(X)] \approx g'(\mu)^2 \text{Var}(X)$

Trong trường hợp này (giả sử tôi không mắc lỗi), với , . $g(X)=\frac{1}{X}$ $\text{Var}[\frac{1}{X}] \approx \frac{1}{\mu^4} \text{Var}(X)$

Wikipedia: Taylor mở rộng cho các khoảnh khắc chức năng của các biến ngẫu nhiên

---

Một số ví dụ để minh họa điều này. Tôi sẽ tạo hai mẫu (phân phối gamma) trong R, một mẫu có phân phối 'không quá chặt chẽ' về giá trị trung bình và một mẫu chặt chẽ hơn một chút.

 a <- rgamma(1000,10,1)  # mean and variance 10; the mean is not many sds from 0
 var(a)
[1] 10.20819  # reasonably close to the population variance

Giá trị gần đúng cho thấy phương sai của phải gần với $1/a$ $(1/10)^4 \times 10 = 0.001$

 var(1/a)
[1] 0.00147171

Tính toán đại số cho thấy phương sai dân số thực tế là $1/648 \approx 0.00154$

Bây giờ cho người chặt chẽ hơn:

 a <- rgamma(1000,100,10) # should have mean 10 and variance 1
 var(a)
[1] 1.069147

Giá trị gần đúng cho thấy phương sai của phải gần với $1/a$ $(1/10)^4 \times 1 = 0.0001$

 var(1/a)
[1] 0.0001122586

Tính toán đại số cho thấy phương sai dân số của đối ứng là . $\frac{10^2}{99^2\times 98} \approx 0.000104$

— Glen_b -Reinstate Monica
nguồn

Lưu ý rằng trong trường hợp này, một giả thuyết khá yếu dẫn đến kết luận rằng sẽ không tồn tại trung bình (phương sai whence) cho , nghĩa là gần đúng trong câu trả lời sẽ khá sai lệch. :-) Một giả thuyết ví dụ là có mật độ liên tục trong một khoảng quanh 0 và sao cho . Kết quả sau đó là do mật độ sẽ bị giới hạn từ 0 trong một khoảng thời gian . Tất nhiên, giả thuyết được đưa ra không phải là yếu nhất có thể.

1 / X

$1/X$

X

$X$

f

$f$

f (0) \neq 0

$f(0) \neq 0$

[- ϵ, ϵ]

$[-\epsilon,\epsilon]$

— Đức hồng y

Lý do chuỗi đối số Taylor sau đó không thành công là vì ẩn phần còn lại (lỗi), trong trường hợp này là và điều này hoạt động không tốt xung quanh .

\approx

$\approx$

R (x, μ) = = \frac{(x + μ) (x - μ)^{2}}{x μ},

$R(x,\mu) = \frac{(x+\mu)(x-\mu)^2}{x\mu} \>,$

x = 0

$x = 0$

— Đức hồng y

Người ta thực sự phải cẩn thận về hành vi của mật độ gần 0. Lưu ý rằng trong các ví dụ gamma ở trên, phân bố nghịch đảo là gamma nghịch đảo, trong đó có một giá trị trung bình hữu hạn đòi hỏi ( là tham số hình dạng của gamma chúng ta đang đảo ngược). Hai ví dụ có và . Mặc dù vậy (với các bản phân phối "đẹp" để đảo ngược), việc bỏ qua các thuật ngữ cao hơn có thể đưa ra sự thiên vị đáng chú ý.

α > 1

$\alpha>1$

α

$\alpha$

α = 10

$\alpha = 10$

α = 100

$\alpha = 100$

— Glen_b -Reinstate Monica

điều này có vẻ đúng hướng, của một phân phối bình thường thay đổi qua lại thay vì phân phối bình thường tiêu chuẩn đối ứng: en.wikipedia.org/wiki/

— Kẻ