Do tiệm cận thứ ba tồn tại?

Hầu hết các kết quả tiệm cận trong thống kê chứng minh rằng khi một ước (như MLE) hội tụ với phân phối chuẩn dựa trên một giây bậc taylor mở rộng của hàm likelihood. Tôi tin rằng có một kết quả tương tự trong văn học Bayesian, các "Bayesian Trung Định lý giới hạn", trong đó cho thấy rằng hội tụ sau tiệm để một bình thường như n → $n \rightarrow \infty$$n \rightarrow \infty$

Câu hỏi của tôi là - phân phối có hội tụ đến một cái gì đó "trước" nó trở nên bình thường, dựa trên thuật ngữ thứ ba trong loạt Taylor không? Hoặc điều này là không thể làm nói chung?

Bạn đang tìm kiếm loạt Edgeworth phải không?

http://en.wikipedia.org/wiki/Edgeworth_series#Edgeworth_series

(lưu ý rằng Edgeworth chết năm 1926, nên có trong hầu hết các nhà thống kê nổi tiếng?)

Không thể để một chuỗi "hội tụ" đến một điều và sau đó đến một điều khác. Các điều khoản bậc cao trong một mở rộng tiệm cận sẽ về không. Những gì họ nói với bạn là mức độ gần bằng 0 đối với bất kỳ giá trị đã cho nào của .$n$

Đối với Định lý giới hạn trung tâm (làm ví dụ), sự mở rộng thích hợp là logarit của hàm đặc trưng: hàm tạo tích lũy (cgf). Tiêu chuẩn hóa các bản phân phối sửa chữa các điều khoản zeroth, thứ nhất và thứ hai của cgf. Các điều khoản còn lại, có hệ số là các tích lũy , phụ thuộc vào một cách có trật tự. Các tiêu chuẩn đó xảy ra trong CLT (chia tổng của n biến ngẫu nhiên bởi một cái gì đó tỉ lệ với n 1 / 2 --without mà hội tụ sẽ không xảy ra) làm cho m thứ cumulant - mà sau khi tất cả phụ thuộc vào m th khoảnh khắc - để được chia cho ( $n$$n$$n^{1/2}$$m^\text{th}$$m^\text{th}$ , nhưng cùng một lúc bởi vì chúng tôi đang tổng hợpnngữ, kết quả cuối cùng là các m thứ hạn để tỷ lệ vớin / n m / 2 = n - ( m - 2 ) / 2 . Do đó, cumulant phần ba tổng tiêu chuẩn tỷ lệ với1 / n 1 / 2 , các cumulant thứ tư là tỷ lệ thuận với1 /$(n^{1/2})^m = n^{m/2}$$n$$m^\text{th}$$n/n^{m/2} = n^{-(m-2)/2}$$1/n^{1/2}$$1/n$, và như thế. Đây là những điều khoản cao hơn. (Để biết chi tiết, hãy xem bài viết này của Yuval Filmus chẳng hạn.)

$n$$n$$n$$n$$1/n^{1/2}$$1/n$thuật ngữ là một sự điều chỉnh nhỏ hơn, biến mất nhanh hơn được thêm vào đó, v.v. Tóm lại, các điều khoản bổ sung cung cấp cho bạn một bức tranh về mức độ nhanh chóng của chuỗi hội tụ đến giới hạn của nó.

$n$$1/n^{1/2}$

Đây là một nỗ lực để trả lời câu hỏi sâu sắc của bạn. Tôi đã thấy việc đưa vào học kỳ thứ 3 của loạt Taylor để tăng tốc độ hội tụ của loạt phim sang phân phối thực sự. Tuy nhiên, tôi chưa thấy (theo kinh nghiệm hạn chế của mình) việc sử dụng khoảnh khắc thứ ba và cao hơn.

$n^{1/2}$$n^{1/2}$$n$

Do đó, tôi đoán, câu trả lời cho câu hỏi của bạn nên là không . Phân phối tiệm cận hội tụ đến một khoảng cách bình thường (bởi CLT, trong điều kiện thường xuyên của CLT của Lindberg). Tuy nhiên, sử dụng các thuật ngữ bậc cao hơn có thể làm tăng tốc độ hội tụ đến phân phối tiệm cận.

Chắc chắn không phải là khu vực của tôi, nhưng tôi khá chắc chắn rằng tiệm cận thứ ba và thứ tự cao hơn tồn tại. Đây có phải là bất kỳ giúp đỡ?

Robert L. Strawderman. Xấp xỉ xấp xỉ tiệm cận bậc cao: Laplace, Saddlepoint và Tạp chí phương pháp liên quan của Hiệp hội thống kê Mỹ Vol. 95, số 452 (tháng 12 năm 2000), trang 1358-1364