Giải pháp cho vấn đề xe tăng Đức

Có bằng chứng toán học chính thức nào cho thấy giải pháp cho Bài toán Xe tăng Đức là một hàm chỉ gồm các tham số k (số lượng mẫu quan sát) và m (giá trị tối đa trong số các mẫu được quan sát)? Nói cách khác, người ta có thể chứng minh rằng giải pháp độc lập với các giá trị mẫu khác bên cạnh giá trị tối đa không?

Khả năng

Các vấn đề phổ biến trong lý thuyết xác suất đề cập đến xác suất quan sát đưa ra một mô hình nhất định và đưa ra các tham số (hãy gọi chúng là ) liên quan. Ví dụ, xác suất cho các tình huống cụ thể trong trò chơi bài hoặc trò chơi súc sắc thường rất đơn giản.$x_1, x_2, ... , x_n$$\theta$

Tuy nhiên, trong nhiều tình huống thực tế, chúng ta đang xử lý một tình huống nghịch đảo ( thống kê suy luận ). Đó là: quan sát được đưa ra và bây giờ mô hình không xác định hoặc ít nhất chúng ta không biết một số tham số nhất định .$x_1, x_2, ... , x_k$$\theta$

Trong các loại vấn đề này, chúng tôi thường đề cập đến một thuật ngữ gọi là khả năng của các tham số, , đó là tỷ lệ tin vào một tham số cụ thể đưa ra các quan sát . Thuật ngữ này được biểu thị theo tỷ lệ thuận với xác suất của các quan sát giả sử rằng một tham số mô hình sẽ là giả thuyết đúng. $\mathcal{L(\theta)}$$\theta$$x_1, x_2, .. x_k$$x_1, x_2, .. x_k$$\theta$

Đối với một giá trị tham số đã cho càng có nhiều khả năng quan sát nhất định là (liên quan đến xác suất với các giá trị tham số khác), quan sát càng hỗ trợ tham số cụ thể này (hoặc giả thuyết / giả thuyết giả định tham số này) . Khả năng cao (tương đối) sẽ củng cố niềm tin của chúng tôi về giá trị tham số đó (có nhiều triết lý hơn để nói về điều này).$\theta$$x_1, x_2, .. x_n$

Khả năng trong vấn đề xe tăng Đức

Bây giờ đối với bài toán xe tăng của Đức, hàm khả năng cho một tập hợp các mẫu là:$x_1, x_2, .. x_k$

Cho dù bạn quan sát các mẫu {1, 2, 10} hay các mẫu {8, 9, 10} đều không thành vấn đề khi các mẫu được xem xét từ phân phối đồng đều với tham số . Cả hai mẫu đều có khả năng như nhau với xác suất và sử dụng ý tưởng về khả năng một mẫu không cho biết nhiều hơn về tham số so với mẫu khác.$\theta$${{\theta}\choose{3}}^{-1}$$\theta$

Các giá trị cao {8, 9, 10} có thể khiến bạn nghĩ / tin rằng nên cao hơn. Nhưng, đó chỉ là giá trị {10} Thực sự cung cấp cho bạn thông tin có liên quan về khả năng của (giá trị 10 cho bạn biết rằng sẽ là mười hoặc cao hơn, các giá trị khác 8 và 9 không đóng góp gì cho thông tin này ).$\theta$$\theta$$\theta$

Định lý nhân tố Fisher Neyman

Định lý này cho bạn biết rằng một thống kê (nghĩa là một số chức năng của các quan sát, như giá trị trung bình, trung bình hoặc như trong bài toán xe tăng Đức tối đa) là đủ (chứa tất cả thông tin) khi bạn có thể tính ra, trong hàm khả năng, các thuật ngữ phụ thuộc vào các quan sát khác , , sao cho yếu tố này không phụ thuộc vào cả tham số và (và một phần của hàm khả năng liên quan đến dữ liệu với các giá trị tham số giả thuyết chỉ phụ thuộc vào thống kê chứ không phụ thuộc vào toàn bộ dữ liệu / quan sát).$T(x_1, x_2, … , x_k)$$x_1, x_2, … , x_k$$\theta$$x_1, x_2, … , x_k$

Trường hợp của vấn đề xe tăng Đức là đơn giản. Bạn có thể thấy ở trên rằng toàn bộ biểu thức cho Khả năng ở trên chỉ phụ thuộc vào thống kê và phần còn lại của các giá trị không quan trọng.$\max(x_1, x_2, .. x_k)$$x_1, x_2, .. x_k$

Trò chơi nhỏ làm ví dụ

Giả sử chúng ta chơi trò chơi sau nhiều lần: tự nó là một biến ngẫu nhiên và được vẽ với xác suất bằng nhau là 100 hoặc 110. Sau đó, chúng ta vẽ một mẫu .$\theta$$x_1,x_2,...,x_k$

Chúng tôi muốn chọn một chiến lược để đoán , dựa trên tối đa hóa xác suất của chúng tôi để có dự đoán đúng về .$\theta$$x_1,x_2,...,x_k$$\theta$

Chiến lược phù hợp sẽ là chọn 100 trừ khi một trong các số trong mẫu là> 100.

Chúng ta có thể muốn chọn giá trị tham số 110 khi nhiều có xu hướng là tất cả các giá trị cao gần trăm (nhưng không chính xác hơn trăm), nhưng điều đó sẽ sai. Xác suất quan sát như vậy sẽ lớn hơn khi giá trị tham số thực là 100 so với khi nó là 110. Vì vậy, nếu chúng ta đoán, trong tình huống đó, 100 là giá trị tham số, thì chúng ta sẽ ít mắc lỗi hơn (vì tình trạng với các giá trị cao này gần hàng trăm, nhưng vẫn ở dưới nó, xảy ra thường xuyên hơn trong trường hợp giá trị thực là 100 thay vì trường hợp giá trị thực là 110).$x_1,x_2,...,x_k$

Bạn chưa trình bày một công thức chính xác về "vấn đề", vì vậy nó không rõ ràng chính xác những gì bạn yêu cầu được chứng minh. Từ quan điểm của Bayes, xác suất sau sẽ phụ thuộc vào tất cả các dữ liệu. Tuy nhiên, mỗi quan sát về một số sê-ri cụ thể sẽ hỗ trợ số đó nhiều nhất. Nghĩa là, với bất kỳ quan sát , tỷ lệ chênh lệch giữa sau và trước sẽ lớn hơn đối với giả thuyết "số lượng xe tăng thực tế là " so với "số lượng xe tăng thực tế là [số khác với ]". Do đó, nếu chúng ta bắt đầu với một bộ đồng phục trước, thì sẽ có hậu thế cao nhất sau khi nhìn thấy sự quan sát đó.$n$$n$$n$$n$

Hãy xem xét một trường hợp trong đó chúng ta có điểm dữ liệu và giả thuyết . Rõ ràng, hậu thế cho bằng không. Và hậu thế của chúng tôi cho sẽ lớn hơn trước. Lý do cho điều này là trong lý luận Bayes, sự vắng mặt của bằng chứng là bằng chứng của sự vắng mặt. Bất cứ khi nào chúng tôi có cơ hội, nơi chúng tôi có thể thực hiện một quan sát sẽ làm giảm xác suất của chúng tôi, nhưng không, xác suất tăng lên. Vì chúng ta có thể đã nhìn thấy , điều này sẽ đặt cho các hậu thế của chúng ta về thành 0, nên thực tế là chúng ta đã không thấy điều đó có nghĩa là chúng ta nên tăng các hậu thế cho$13$$N=10,13,15$$N=10$$N=13,15$$16$$N=13,15$$N=13,15$ . Nhưng lưu ý rằng số càng nhỏ, số lượng càng nhiều chúng ta có thể đã thấy sẽ loại trừ số đó. Đối với , chúng tôi sẽ từ chối giả thuyết rằng sau khi nhìn thấy . Nhưng với , chúng ta sẽ cần ít nhất để từ chối giả thuyết. Vì giả thuyết sai lệch hơn , nên việc chúng tôi không làm sai lệch là bằng chứng cho , hơn là không làm sai lệch là bằng chứng cho .$N=13$$14,15,16,...$$N=15$$16$$N=13$$N=15$$N=13$$N=13$$N=15$$N=15$

Vì vậy, mỗi khi chúng ta nhìn thấy một điểm dữ liệu, nó sẽ đặt phía sau của mọi thứ bên dưới nó thành 0 và tăng phía sau của mọi thứ khác, với các số nhỏ hơn sẽ nhận được mức tăng lớn nhất. Do đó, số nhận được mức tăng lớn nhất sẽ là số nhỏ nhất mà số sau không được đặt thành 0, tức là giá trị tối đa của các quan sát.

Các số nhỏ hơn mức tối đa ảnh hưởng đến mức tăng tối đa lớn hơn bao nhiêu , nhưng nó không ảnh hưởng đến xu hướng chung của mức tăng tối đa lớn nhất. Hãy xem xét ví dụ trên, nơi chúng ta đã thấy . Nếu số tiếp theo chúng ta thấy là , điều đó sẽ có ảnh hưởng gì? Nó giúp hơn , nhưng cả hai số đã bị từ chối, vì vậy điều đó không liên quan. Nó giúp đỡ hơn hơn , nhưng đã được giúp đỡ hơn , vì vậy điều đó không ảnh hưởng đến số nào đã được giúp đỡ nhiều nhất.$13$$5$$5$$6$$13$$15$$13$$15$