Công cụ ước lượng không thiên vị về số mũ của tập hợp?

Giả sử chúng ta có một bộ (có thể đo lường được và hoạt động tốt phù hợp) , trong đó nhỏ gọn. Hơn nữa, giả sử chúng ta có thể vẽ các mẫu từ phân phối đồng đều trên , hãy đo số đo Lebesgue và chúng ta biết số đo . Ví dụ, có lẽ là một hộp chứa .$S\subseteq B\subset\mathbb R^n$$B$$B$$\lambda(\cdot)$$\lambda(B)$$B$$[-c,c]^n$$S$

Đối với cố định , có cách đơn giản nào để ước tính bằng cách lấy mẫu các điểm trong và kiểm tra xem chúng có ở trong hay ngoài không?$\alpha\in\mathbb R$$e^{-\alpha \lambda(S)}$$B$$S$

Ví dụ về một cái gì đó không hoạt động tốt, giả sử chúng tôi lấy mẫu điểm . Sau đó, chúng ta có thể sử dụng ước tính Monte Carlo Nhưng, trong khi là một công cụ ước tính không thiên vị của , tôi không nghĩ đó là trường hợp mà là một công cụ ước tính không thiên vị của . Có cách nào để sửa đổi thuật toán này?$k$$p_1,\ldots,p_k\sim\textrm{Uniform}(B)$

$$\lambda(S)\approx \hat\lambda:= \frac{\#\{p_i\in S\}}{k}\lambda(B).$$ Bước sóng bước sóng(S)e-alpha bước sóng điện tử-alphabước sóng(S)$\hat\lambda$$\lambda(S)$$e^{-\alpha\hat\lambda}$$e^{-\alpha\lambda(S)}$

Giả sử rằng bạn có sẵn các tài nguyên sau:

1. Bạn có quyền truy cập vào công cụ ước tính .$\hat{\lambda}$
2. $\hat{\lambda}$ không thiên vị cho .$\lambda ( S )$
3. $\hat{\lambda}$ gần như chắc chắn bị chặn trên bởi .$C$
4. Bạn biết hằng số , và$C$
5. Bạn có thể hình thành nhận thức độc lập về bao nhiêu lần tùy thích.$\hat{\lambda}$

Bây giờ, lưu ý rằng với bất kỳ , các lần giữ sau (theo bản mở rộng Taylor của ):$u > 0$$\exp x$

$$\begin{align} e^{-\alpha \lambda ( S ) } &= e^{-\alpha C} \cdot e^{\alpha \left( C - \lambda ( S ) \right)} \\ &= e^{- \alpha C} \cdot \sum_{k \geqslant 0} \frac{ \left( \alpha \left[ C - \lambda ( S ) \right] \right)^k}{ k! } \\ &= e^{- \alpha C} \cdot e^u \cdot \sum_{k \geqslant 0} \frac{ e^{-u} \cdot \left( \alpha \left[ C - \lambda ( S ) \right] \right)^k}{ k! } \\ &= e^{u -\alpha C} \cdot \sum_{k \geqslant 0} \frac{ u^k e^{-u} }{ k! } \left(\frac{ \alpha \left[ C - \lambda ( S ) \right]}{u} \right)^k \end{align}$$

Bây giờ, làm như sau:

1. Mẫu .$K \sim \text{Poisson} ( u )$
2. Biểu mẫu vì tôi ước tính không thiên vị của .$\hat{\lambda}_1, \cdots, \hat{\lambda}_K$$\lambda(S)$
3. Trả lại công cụ ước tính

$$\hat{\Lambda} = e^{u -\alpha C} \cdot \left(\frac{ \alpha }{u} \right)^K \cdot \prod_{i = 1}^K \left\{ C - \hat{\lambda}_i \right\}.$$

$\hat{\Lambda}$ bước sóng(S) sau đó là một công cụ ước tính không âm, không thiên vị của . Đây là vì$\lambda(S)$

$$\begin{align} \mathbf{E} \left[ \hat{\Lambda} | K \right] &= e^{u -\alpha C} \cdot \left(\frac{ \alpha }{u} \right)^K \mathbf{E} \left[ \prod_{i = 1}^K \left\{ C - \hat{\lambda}_i \right\} | K \right] \\ &= e^{u -\alpha C} \cdot \left(\frac{ \alpha }{u} \right)^K \prod_{i = 1}^K \mathbf{E} \left[ C - \hat{\lambda}_i \right] \\ &= e^{u -\alpha C} \cdot \left(\frac{ \alpha }{u} \right)^K \prod_{i = 1}^K \left[ C - \lambda ( S ) \right] \\ &= e^{u -\alpha C} \cdot \left(\frac{ \alpha }{u} \right)^K \left[ C - \lambda ( S ) \right]^K \end{align}$$

và như vậy

$$\begin{align} \mathbf{E} \left[ \hat{\Lambda} \right] &= \mathbf{E}_K \left[ \mathbf{E} \left[ \hat{\Lambda} | K \right] \right] \\ &= \mathbf{E}_K \left[ e^{u -\alpha C} \cdot \left(\frac{ \alpha }{u} \right)^K \left[ C - \lambda ( S ) \right]^K \right] \\ &= e^{u -\alpha C} \cdot \sum_{k \geqslant 0} \mathbf{P} ( K = k ) \left(\frac{ \alpha }{u} \right)^K \left[ C - \lambda ( S ) \right]^K \\ &= e^{u -\alpha C} \cdot \sum_{k \geqslant 0} \frac{ u^k e^{-u} }{ k! } \left(\frac{ \alpha \left[ C - \lambda ( S ) \right]}{u} \right)^k \\ &= e^{-\alpha \lambda ( S ) } \end{align}$$

bằng cách tính toán trước đó.

Câu trả lời là trong tiêu cực.

Một thống kê đầy đủ cho một mẫu thống nhất là số của các điểm được quan sát nằm trong Số này có phân phối Binomial . Viết và$X$$S.$$(n,\lambda(S)/\lambda(B))$$p=\lambda(S)/\lambda(B)$$\alpha^\prime = \alpha\lambda(B).$

Đối với kích thước mẫu là hãy để là bất kỳ công cụ ước tính (không thương hiệu) nào của Kỳ vọng là$n,$$t_n$$\exp(-\alpha \lambda(S)) = \exp(-(\alpha\lambda(B)) p) = \exp(-\alpha^\prime p).$

$$E[t_n(X)] = \sum_{x=0}^n \binom{n}{x}p^x (1-p)^{n-x}\, t_n(x),$$

bằng một đa thức bậc của nhiều nhất trong Nhưng nếu thì hàm mũ không thể được biểu thị dưới dạng đa thức trong (Một bằng chứng: lấy các đạo hàm Kết quả cho kỳ vọng sẽ bằng 0 nhưng đạo hàm của hàm mũ, bản thân nó là một số mũ trong không thể bằng 0.)$n$$p.$$\alpha^\prime p \ne 0,$$\exp(-\alpha^\prime p)$$p.$$n+1$$p,$

Trình diễn cho các công cụ ước tính ngẫu nhiên gần như giống nhau: khi lấy kỳ vọng, chúng ta lại nhận được một đa thức trong$p.$

Do đó, không có ước tính không thiên vị tồn tại.