Giới hạn phân phối

Đặt là một chuỗi các biến ngẫu nhiên iid . Xác định và cho . Tìm phân phối giới hạn của$(X_n)$$\mathcal N(0,1)$$S_0=0$$S_n=\sum_{k=1}^n X_k$$n\geq 1$

$$\frac1n \sum_{k=1}^{n}|S_{k-1}|(X_k^2 - 1)$$

Vấn đề này là từ một cuốn sách vấn đề về Lý thuyết xác suất, trong chương về Định lý giới hạn trung tâm.

Vì và là độc lập, và$S_{k-1}$$X_k$$E(|S_{k-1}|(X_k^2 - 1))=0$

Lưu ý rằng rõ ràng không độc lập. Vấn đề là từ các vấn đề về Xác suất của Shiryaev , chính nó dựa trên sách giáo khoa từ cùng một tác giả. Sách giáo khoa dường như không bao gồm CLT cho các biến tương quan. Tôi không biết nếu có một chuỗi, pha trộn ẩn ở đâu đó ...$|S_{k-1}|(X_k^2 - 1)$

Tôi đã chạy mô phỏng để cảm nhận câu trả lời

import numpy as np
import scipy as sc
import scipy.stats as stats
import matplotlib.pyplot as plt

n = 20000 #summation index
m = 2000 #number of samples

X = np.random.normal(size=(m,n))
sums = np.cumsum(X, axis=1)
sums = np.delete(sums, -1, 1)
prods = np.delete(X**2-1, 0, 1)*np.abs(sums)
samples = 1/n*np.sum(prods, axis=1)

plt.hist(samples, bins=100, density=True)
x = np.linspace(-6, 6, 100)
plt.plot(x, stats.norm.pdf(x, 0, 1/np.sqrt(2*np.pi)))
plt.show()

Dưới đây là biểu đồ gồm mẫu ( ). Nó trông khá bình thường được phân phối ...$2000$$n=20.000$

Khi tôi mô phỏng phân phối thì tôi nhận được một cái gì đó giống với phân phối Laplace. Thậm chí tốt hơn có vẻ là một q-Gausian (các tham số chính xác bạn sẽ phải tìm bằng lý thuyết).

Tôi đoán rằng cuốn sách của bạn phải chứa một số biến thể của CLT liên quan đến điều đó (định lý giới hạn trung tâm tổng quát q, có lẽ nó nằm trong Phần 7.6 Định lý giới hạn trung tâm cho tổng các biến phụ thuộc , nhưng tôi không thể tra cứu nó khi tôi không có sẵn sách).

library(qGaussian)
set.seed(1)
Qstore <- c(0) # vector to store result

n <- 10^6  # columns X_i
m <- 10^2  # rows repetitions

pb <- txtProgressBar(title = "progress bar", min = 0,
                     max = 100, style=3)
for (i in 1:100) {  
  # doing this several times because this matrix method takes a lot of memory
  # with smaller numbers n*m it can be done at once

  X <- matrix(rnorm(n*m,0,1),m)
  S <- t(sapply(1:m, FUN = function(x) cumsum(X[x,])))
  S <- cbind(rep(0,m),S[,-n])
  R <- abs(S)*(X^2-1)
  Q <- t(sapply(1:m, FUN = function(x) cumsum(R[x,])))

  Qstore <- c(Qstore,t(Q[,n]))
  setTxtProgressBar(pb, i)
}
close(pb)

# compute histogram 
x <- seq(floor(min(Qstore/n)), ceiling(max(Qstore/n)), 0.2)
h <- hist(Qstore/(n),breaks = x)

# plot simulation
plot( h$mid, h$density, log = "y", xlim=c(-7,7),
      ylab = "log density" , xlab = expression(over(1,n)*sum(abs(S[k-1])*(X[k]^2-1),k==1,n) ) )

# distributions for comparison
lines(x, dnorm(x,0,1),                   col=1, lty=3)      #normal 
lines(x, dexp(abs(x),sqrt(2))/2,         col=1, lty=2)      #laplace
lines(x, qGaussian::dqgauss(x,sqrt(2),0,1/sqrt(2)), col=1, lty=1)      #qgauss

# further plotting
title("10^4 repetitions with n=10^6")
legend(-7,0.6,c("Gaussian", "Laplace", "Q-Gaussian"),col=1, lty=c(3,2,1),cex=0.8)