Nhận tất cả các câu trả lời đúng bằng cách thực hiện cùng một bài kiểm tra trong vài lần

Mưa không bao giờ nghiên cứu, vì vậy cô ấy hoàn toàn không biết gì trong thời gian giữa chừng mặc dù nó chỉ bao gồm câu hỏi Có / Không. May mắn thay, giáo sư của Rain cho phép cô lấy lại bài kiểm tra giữa kỳ nhiều lần như cô muốn, nhưng anh ta chỉ báo cáo điểm số, vì vậy Rain không biết cô đã gặp vấn đề gì. Làm thế nào Rain có thể có được tất cả các câu trả lời đúng bằng cách làm lại bài kiểm tra một số lần tối thiểu?

Nói một cách chính thức hơn, bài kiểm tra có tổng cộng Có / Không có câu hỏi, có câu trả lời đúng là . Tôi muốn tìm một chiến lược giảm thiểu số lần dự kiến ​​mà Rain cần làm lại bài kiểm tra.$n$$X_1, X_2, \dots, X_n \stackrel{iid}{\sim} \text{Bernoulli}(0.5)$

Tôi đã suy nghĩ về nó trong một thời gian. Khi Rain thực hiện bài kiểm tra giữa kỳ lần đầu tiên, điểm của cô ấy sẽ luôn có phân phối , bất kể câu trả lời của cô ấy, vì vậy mỗi chiến lược sẽ giảm cùng một lượng entropy. Tôi không biết điều này có nghĩa là gì, mặc dù. Điều đó có nghĩa là bất kỳ dự đoán ngẫu nhiên nào cũng tốt như trả lời tất cả "Có" hoặc tất cả "Không"?$\text{Binom}(n, 0.5)$

Mặc dù đây không phải là một câu hỏi bài tập về nhà, tôi đang lên kế hoạch dựa trên dự án nghiên cứu tiếp theo của mình, vì vậy

1. Vui lòng cung cấp một số gợi ý thay vì câu trả lời đầy đủ;
2. Nếu câu hỏi này đã được trả lời, xin vui lòng cho tôi một con trỏ.

Điều này tương tự như trò chơi Mastermind .

Có rất nhiều tài liệu về chủ đề này. Đối với trường hợp cụ thể đó (4 câu hỏi với mỗi 6 tùy chọn), một số chiến lược đã được đưa ra nhằm giảm số lần lấy trung bình xuống một chút trên 4.3.

Bạn có thể chọn ra một trong những chiến lược đó hoặc thực hiện một chiến lược mới và áp dụng nó cho trường hợp câu hỏi với tùy chọn, đó là tình huống của bạn. Câu hỏi quá rộng để cung cấp một câu trả lời chi tiết ở đây.$n$$2$

Đây là một vấn đề tối ưu hóa trong đó bạn tìm cách tìm một số nhị phân số không xác định từ các lần đoán, trong đó phản hồi từ các lần đoán đó là bạn nhận được số chữ số chính xác. Đây thực chất chỉ là Mastermind nhị phân , cũng được xem xét trong một vấn đề tính toán gọi là "tối ưu hóa hộp đen" (xem ví dụ, Doerr et al 2001 ).$n$

Như những người khác đã nói, vấn đề rất giống với trò chơi Mastermind. Giả sử rằng các câu trả lời đúng là các biến nhị phân cho và rằng Rain mất bài kiểm tra lần, lúc trả lời với câu hỏi -thứ ( ). Tổng số câu trả lời đúng cho lần thứ là .$c_i$$i = 1, \ldots, n$$k$$j$$x_{i, j}$$i$$i \le n, j \le k$$j$$T_j$

Những gì tiếp theo chỉ là một số quan sát và ghi chú, dựa trên yêu cầu rõ ràng của OP để chỉ cung cấp một số gợi ý về vấn đề.

1. Lưu ý rằng một "lý thuyết thông tin" dễ dàng bị ràng buộc thấp hơn trên đối với cấu hình chung của các câu trả lời đúng là : mỗi thử nghiệm cung cấp cho Rain một số , với số lượng to bit kiến ​​thức, trong khi kiến ​​thức cần thiết để biết tất cả các câu trả lời là ~ (vì câu hỏi nhị phân).$k$$k \ge O(n / \log n)$$0 \le T_j \le n$$\le \log n$$n$$n$

2. Trong trường hợp chung, bạn có thể xác định các biến và lần lượt là hoặc nếu câu trả lời đúng thứ là Có hoặc Không. Theo cách đó, vấn đề của bạn là xác định điểm trả lời đúng trong " rời rạc "không gian tuyến tính của thứ nguyên : để xem tại sao lại xem xét theo định nghĩa trên về các biến bạn có các ràng buộc $z^Y_i$$z^N_i$$0$$1$$i$$2n$

   $$z^Y_i + z^N_i = 1$$

   Hơn nữa, trong lần kiểm tra thứ của bạn, bạn đang kiểm tra tổ hợp tuyến tính của các biến đó và bạn biết rằng tổng của chúng là : $j$$T_j$

   $$\sum_{i = 1}^n z^{Y/N}_i = T_j$$

   Điều này nhấn mạnh rằng việc giải quyết vấn đề như vậy trong truy vấn là chuyện nhỏ vì bằng cách thực hiện kiểm tra lần, bạn có phương trình xác định một điểm trong không gian , để nếu bạn đủ thông minh trong việc không thực hiện các truy vấn dư thừa (chỉ cần thay đổi câu trả lời của bạn cùng một lúc) bạn chỉ có thể mất lần bài kiểm tra.$n$$k$$n + k$$2n$$n$

3. Trong các trường hợp cụ thể (chẳng hạn như khi tỷ lệ có / không đặc biệt không cân bằng), bạn sẽ dễ dàng đưa ra các phương pháp phỏng đoán đặc biệt phù hợp: giả sử bằng ví dụ bạn biết rằng chỉ có một câu trả lời Có trong toàn bộ bài kiểm tra. Sau đó, bạn có thể tìm thấy nó trong chỉ truy vấn bằng cách chia đôi tiêu chuẩn trên các bộ câu trả lời. Ngoài ra, bạn có thể kiểm tra xem bạn có ở trong trường hợp như vậy hay không bằng cách đưa ra truy vấn đầu tiên "tất cả có" (trong trường hợp đó là ).$\log n$$T_1 = 1$

4. Bằng cách khái quát hóa ý tưởng trong dấu đầu dòng trước, Nếu số câu trả lời Có là (giả sử ) (và điều này có thể được biết đến bằng một truy vấn duy nhất), về cơ bản bạn đang tìm kiếm một bộ kích thước bên trong một bộ kích thước (do đó có trong số chúng) và truy vấn của bạn bao gồm việc biết mức độ chính xác của giao điểm của một bộ mà bạn chọn với bộ câu hỏi Có, Tôi nghĩ là một vấn đề được nghiên cứu nhiều hơn và bạn có thể có thể tìm thấy nhiều tài liệu tham khảo về nó.$C$$C \le n/2$$C$$n$$\binom{n}{C} \simeq n^C$$S$

   Gọi tập bạn đang Tring để tìm (Có câu trả lời) . Với một truy vấn duy nhất, bạn có thể biết số lượng thẻ của nó . Bây giờ, một tập hợp được chọn ngẫu nhiên được sử dụng làm truy vấn cho phép bạn biết tính chính xác của hai tập con và và vấn đề ban đầu của bạn đã được giảm xuống còn hai bài toán con có kích thước gần bằng một nửa (cũng là số câu trả lời Có tìm kiếm thường sẽ giảm một nửa ở mỗi lần lặp). Tôi sẽ không viết chi tiết rõ ràng, nhưng đó chỉ là vấn đề tính toán xác suất đơn giản.$Y$$|Y| = m$$S$$|Y \cap S| = t$$|Y \cap S^c| = m - t$

   Khai thác quan sát trên, bạn sẽ đưa ra một thuật toán xác suất để giải quyết bài toán con , điều này sẽ giúp bạn có được ràng buộc của . Đến với một thuật toán xác định cho vấn đề như vậy có thể được thực hiện bằng cách sử dụng kỹ thuật kỳ vọng tối đa hóa, nhưng tôi không thể thấy trước liệu nó có hoạt động hay không.$P(m, n) \simeq\le 1 + 2 * P(m/2, n/2)$$O(m \log n)$

Bạn có muốn giảm thiểu số lần thử lại tối đa? hoặc giảm thiểu số lần thi lại dự kiến?

Bạn có thể đưa ra các chiến lược rất khác nhau tùy thuộc vào việc bạn muốn xem xét.

Cách tiếp cận ngây thơ ở bước đầu tiên sẽ mất tới lần và sẽ bao gồm làm bài kiểm tra lần đầu tiên, sau đó, lần thứ hai, bài kiểm tra chỉ thay đổi câu trả lời đầu tiên, Nếu điểm tăng lên thì hãy giữ câu trả lời mới, nếu nó đi xuống trở lại câu trả lời đầu tiên cho tất cả các bước trong tương lai. Vào lần thứ 3 (thi lại lần 2) chỉ thay đổi câu trả lời thứ 2, v.v.$n+1$

Bây giờ bạn có thể bắt đầu so sánh các chiến lược khác với chiến lược đó. Nếu lần thứ 2 làm bài kiểm tra 2 câu trả lời bị thay đổi, thì nếu điểm số thay đổi, chúng ta biết câu trả lời đúng cho 2 câu hỏi và đã lưu một bước, nhưng nếu chúng ta thay đổi một câu thành đúng và câu kia sai thì điểm sẽ làm không thay đổi và chúng tôi không biết thay đổi nào là đúng cho đến khi chúng tôi thực hiện bài kiểm tra lần thứ 3 chỉ thay đổi một trong số họ (nhưng điều đó cũng sẽ cho chúng tôi biết về người khác), vì vậy, 1 hoặc 2 lần thử lại để nhận được 2 câu trả lời (50% cơ hội của mỗi) sẽ làm giảm số lần thử lại dự kiến, nhưng có thể giữ tối đa như nhau.

Bây giờ bạn có thể xem các chiến lược khác và xem cách chúng so sánh (thay đổi 3 câu trả lời đầu tiên, thay đổi , v.v.) đầu tiên.$\frac{n}{2}$