Tại sao giới hạn của phân phối Chi bình phương là phân phối bình thường?

7

Giáo sư của tôi tuyên bố rằng $\lim_{p\to\infty}\chi^2_p$ có phân phối bình thường. Khiếu nại được đưa ra trên cơ sở Định lý giới hạn trung tâm: vì , chúng tôi có Bình thường . Tôi không thấy điều này hợp lệ hay đúng như thế nào, vì yêu cầu này sẽ có giới hạn ở phía bên tay trái, nhưng cũng xuất hiện ở phía bên tay phải. Hơn nữa, và cả phụ thuộc vào ... $p\to\infty$ $(p\mu, p^2\sigma^2)$ $p$ $p$ $\sigma^2$ $\mu$ $p$

Tôi còn thiếu điều gì và làm cách nào để thuyết phục bản thân về sự phân phối của giới hạn này?

— đánh lừa 126
nguồn

1

Bạn không thiếu thứ gì, và tuyên bố của giáo sư của bạn là sai vì những lý do chính xác giống như bạn đã đưa ra: các hoạt động giới hạn cần một mục tiêu cố định và không phải là một mục tiêu di chuyển trong đó xuất hiện trong giới hạn. Có gì là đúng là sự phân bố của một (zero trung bình, đơn vị sai) biến ngẫu nhiên Unitized phù hợp liên quan đến đang hội tụ với sự phân bố ngẫu nhiên bình thường tiêu chuẩn.

p

$p$

χ_{p}^{2}

$\chi_p^2$

— Dilip Sarwate

10

Tính chất này tuân theo định lý giới hạn trung tâm, sử dụng thực tế là phân phối chi bình phương thu được dưới dạng phân phối một tổng bình phương của các biến ngẫu nhiên tiêu chuẩn thông thường độc lập. Nếu bạn có một chuỗi các biến ngẫu nhiên thì bạn có: $Z_1,Z_2,Z_3, ... \sim \text{IID N}(0,1)$

χ_{p}^{2} \equiv \sum_{i = 1}^{p} Z_{i}^{2} \sim ChiSq (p) .

$\chi_p^2 \equiv \sum_{i=1}^p Z_i^2 \sim \text{ChiSq}(p).$

Bây giờ, các biến ngẫu nhiên là IID với mean và variance , vì vậy chúng tôi có và . Áp dụng định lý giới hạn trung tâm cổ điển mà bạn nhận được: $Z_1^2,Z_2^2,Z_3^2, ...$ $\mathbb{E}(Z_i^2) = 1$ $\mathbb{V}(Z_i^2) = 2 < \infty$ $\mathbb{E}(\chi_p^2) = p$ $\mathbb{V}(\chi_p^2) = 2p$

lim_{p \to \infty} P (\frac{χ_{p}^{2} - p}{\sqrt{2 p}} ⩽ z) = Φ (z) .

$\lim_{p \rightarrow \infty} \mathbb{P} \Bigg( \frac{\chi_p^2 - p}{\sqrt{2p}} \leqslant z \Bigg) = \Phi(z).$

Một cách khác để viết kết quả giới hạn chính thức này là:

\frac{χ_{p}^{2} - p}{\sqrt{2 p}} \overset{Dist}{\to} N (0, 1) .

$\frac{\chi_p^2 - p}{\sqrt{2p}} \overset{\text{Dist}}{\rightarrow} \text{N}(0, 1).$

Đó là kết quả hội tụ chính thức giữ cho phân phối chi bình phương. Một cách không chính thức, đối với chúng tôi có phân phối gần đúng: $p \in \mathbb{N}$

χ_{p}^{2} \overset{Approx}{\to} N (p, 2 p) .

$\chi_p^2 \overset{\text{Approx}}{\rightarrow} \text{N}(p, 2p).$

Mặc dù không đúng hoàn toàn, đôi khi phép tính gần đúng không chính thức này được khẳng định là một loại kết quả hội tụ, không chính thức đề cập đến sự hội tụ trong đó xuất hiện ở cả hai phía. (Hoặc đôi khi nó được thực hiện đúng bằng cách thêm một thuật ngữ đặt hàng thích hợp.) Đây có lẽ là những gì giáo sư của bạn đã đề cập. $p$

Liên quan đến tính chất này, điều đáng chú ý là phân phối gamma hội tụ về mức bình thường vì tham số tỷ lệ có xu hướng vô cùng; sự hội tụ của phân phối chi bình phương cho bình thường là một trường hợp đặc biệt của kết quả hội tụ rộng hơn này.

— Ben - Phục hồi Monica
nguồn

Cảm ơn câu trả lời và nâng cao! Chỉ tự hỏi liệu chúng ta có thể nói điều gì đó tương tự cho giới hạn phân phối làỞ đây phân phối là căn bậc hai của phân phối .

χ (p)

$\chi(p)$

p \to \infty ?

$p \to \infty?$

χ (p)

$\chi(p)$

χ^{2} (p)

$\chi^2(p)$

— Mathmath

1

Một biến ngẫu nhiên chi tiêu chuẩn cũng hội tụ trong phân phối bình thường, do đó, kết quả giới hạn bạn nhận được là tương tự, nhưng với giá trị trung bình và phương sai của phân phối chi thay thế tương ứng và .

p

$p$

2 p

$2p$

— Ben - Tái lập lại

1

$\lim_{p \rightarrow \infty} \frac{\chi^2_p - p\mu}{p\sigma} \overset{d}{\rightarrow} N(0,1)$

https://en.wikipedia.org/wiki/Chi-squared_distribution#Relation_to_other_distribution

— nhiệm vụ
nguồn

Câu trả lời này đã được gắn cờ bởi người dùng vì nó khẳng định lại kết luận nhưng không đưa ra lời giải thích được yêu cầu.

— whuber