Giá trị của hàm mật độ xác suất cho đầu vào đã cho là một điểm, một phạm vi hay cả hai?

Đây bài nói

Một PDF được sử dụng để xác định xác suất của biến ngẫu nhiên nằm trong một phạm vi giá trị cụ thể, trái ngược với việc lấy bất kỳ một giá trị nào.

Có đúng không

đây là bản PDF của bản phân phối chuẩn.

φ (x) = \frac{1}{\sqrt{2 π}} e^{- x^{2} / 2}

$\varphi(x) = \frac{1}{\sqrt{2\pi}} e^{-x^2/2}$

cắm x = 0 vào công thức trên, tôi có thể nhận được xác suất nhận một giá trị.

Bài đăng đó có nghĩa là PDF có thể được sử dụng cho cả điểm và khoảng thời gian không?

distributions terminology

— yaojp
nguồn

Câu trả lời này của whuber đi sâu vào chi tiết hơn về cách diễn giải giá trị của PDF tại một điểm nhất định.

— COOLSerdash

Chào mừng đến với CV yaojp. Tôi nghi ngờ ký hiệu có thể đóng một vai trò trong sự bối rối của bạn: hàm là hàm phân phối tích lũy của phân phối chuẩn thông thường rõ ràng là một tích phân từ đến nên các xác suất khác không của nó phải xuất phát từ các khoảng .

φ (x)

$\varphi(x)$

- \infty

$-\infty$

x

$x$

— Alexis

Bạn cũng có thể diễn giải mật độ theo cách sau: trong một khoảng rất nhỏ nó giữ:

[x - ϵ, x + ϵ]

$[x-\epsilon, x+\epsilon]$

P (X \in [x - ϵ, x + ϵ]) \approx 2 ϵ f (x)

$P(X \in [x-\epsilon,x+\epsilon]) \approx 2\epsilon f(x)$

— Sebastian

Câu trả lời:

Các trích dẫn là đúng sự thật. Khi bạn cắm vào chức năng PDF, bạn KHÔNG có xác suất lấy giá trị cụ thể này. Số kết quả là mật độ xác suất không phải là xác suất. Xác suất lấy chính xác bằng 0 (xem xét số lượng vô hạn của các giá trị có khả năng tương tự trong khoảng nhỏ ). $x=0$ $x=0$ $x\in[0,10^{-100}]$

Để tự thuyết phục thêm rằng này không thể là xác suất, hãy xem xét giảm độ lệch chuẩn của phân phối bình thường của bạn từ xuống . Bây giờ, - nhiều hơn một. Không phải là một xác suất. $\varphi(x)$ $\sigma = 1$ $\sigma = \frac{1}{100}$ $\varphi(0)=\frac{100}{\sqrt{2\pi}}$

— Trisoloriansunscreen
nguồn

Cảm ơn câu trả lời của bạn. Là gì cho? Có rời rạc không? Bạn có vui lòng cung cấp một ký hiệu đã đặt, đại loại như ?

x \in [{0..10}^{- 100}]

$x\in[0..10^{-100}]$

{0, . . ., 10^{- 99}, 10^{- 100}}

$\{0, ..., 10^{-99}, 10^{-100}\}$

— yaojp

Xin lỗi về ký hiệu cẩu thả. Liên tục, không rời rạc - tất cả các số từ 0 đến . Vấn đề là nếu là xác suất lấy một giá trị cụ thể, thì tổng xác suất cho khoảng nhỏ này sẽ là vô cùng.

10^{- 100}

$10^{-100}$

φ (x)

$\varphi(x)$

— Trisoloriansunscreen

+1 Chào mừng bạn đến với CV, @Trisoloriansunscreen. Tôi thích thú với tên của bạn, giả sử như tôi làm, rằng nó tham chiếu bộ ba của Cixin Liu?

— Alexis

@Alexis, đúng :)

— Trisoloriansunscreen

Xây dựng một chút về câu trả lời của Trisoloriansunscreen : rất đúng là bạn chỉ có một hàm mật độ xác suất . Tôi muốn vẽ một sự tương tự cho bạn. Hãy tưởng tượng bạn có một vật thể 3D, nói một số tàu vũ trụ phức tạp và bạn biết mật độ khối lượng tại mọi điểm.

Ví dụ: một số phần của tàu vũ trụ có thể chứa nước, có mật độ khối lượng là . Điều này đã cho bạn biết bất cứ điều gì về khối lượng của toàn bộ tàu vũ trụ? Không nó không! Chính xác bởi vì bạn chỉ biết giá trị này tại một điểm cụ thể. Bạn không có thông tin về lượng nước thực sự có. Nó có thể là hoặc . $997 \frac{\text{g}}{\text{l}}$ $1\ \text{ml}$ $1\ \text{l}$

Bây giờ, giả sử bạn biết lượng nước, giả sử . Bằng cách nhân đơn giản , bạn nhận được khoảng . Tôi muốn đưa ra quan điểm rằng bạn vừa hội nhập vào ngụy trang! Hãy xem xét hình ảnh sau đây: $2\ \text{l}$ $997 \frac{\text{g}}{\text{l}} \cdot 2\ \text{l}$ $1994\ \text{g}$

Khối lượng bạn tính toán chỉ là diện tích hình chữ nhật được tô màu xanh lá cây. Điều này chỉ có thể thực hiện được như một phép nhân đơn giản vì mật độ khối lượng không đổi đối với lượng nước được xem xét và do đó mang lại một diện tích hình chữ nhật.

Điều gì xảy ra nếu bạn có các dạng hỗn hợp của nước, ví dụ như một số khí, một số chất lỏng, một số ở nhiệt độ khác nhau và như vậy? Nó có thể trông như thế này:

Bây giờ để tính toán khối lượng, bạn sẽ cần tích hợp hàm mật độ khối đó qua lượng nước. Bạn có thấy các hàm mật độ xác suất song song bây giờ không? Để có được xác suất thực tế (xem khối lượng), bạn cần tích hợp mật độ xác suất (mật độ khối lượng) trên một số miền.

— ComFalet
nguồn

@Downvoter: Bạn có thể vui lòng đưa phản hồi mang tính xây dựng vào một bình luận không? :)

— ComFalet