Phân phối khác với bình thường trong đó trung bình và phương sai là độc lập

Tôi đã tự hỏi nếu có bất kỳ phân phối nào ngoài bình thường trong đó giá trị trung bình và phương sai độc lập với nhau (hay nói cách khác, trong đó phương sai không phải là một hàm của giá trị trung bình).

distributions

— Wolfgang
nguồn

Tôi không chắc chắn nếu tôi hiểu chính xác câu hỏi. Bạn có hỏi nếu có bất kỳ phân phối nào ngoài bình thường được xác định hoàn toàn bởi giá trị trung bình và phương sai không? Ở một khía cạnh nào đó, phương sai là một hàm của giá trị trung bình vì nó là thước đo độ phân tán xung quanh giá trị trung bình nhưng tôi đoán đây không phải là điều bạn có trong đầu.

ý bạn là mẫu trung bình

và phương sai mẫu

\bar{X} = \frac{1}{n} \sum_{i = 1}^{n} X_{i}

$\bar{X}=\frac{1}{n}\sum_{i=1}^nX_i$

là độc lập. Câu hỏi hay ! có thể chiếu một biến ngẫu nhiên gaussian sẽ giữ độc lập?

\frac{1}{n} \sum_{i = 1}^{n} (X_{i} - \bar{X})^{2}

$\frac{1}{n}\sum_{i=1}^n(X_i-\bar{X})^2$

— cướp girard

Srikant đã đúng. Nếu câu hỏi là hỏi về "giá trị trung bình và phương sai mẫu" thì câu trả lời là "không". Nếu câu hỏi là về ý nghĩa dân số và phương sai, thì câu trả lời là có; David đưa ra ví dụ tốt dưới đây.

Chỉ cần làm rõ, những gì tôi có nghĩa là này. Đối với phân phối chuẩn, giá trị trung bình

và phương sai

đặc trưng đầy đủ sự phân bố và

không phải là một chức năng của

. Đối với nhiều bản phân phối khác, đây không phải là như vậy. Ví dụ, đối với phân phối nhị thức, chúng ta có giá trị trung bình là

và phương sai

, vì vậy phương sai là một hàm của giá trị trung bình. Những ví dụ khác là sự phân bố gamma với các tham số

(quy mô) và

(hình dạng), nơi mà giá trị trung bình là

μ

$\mu$

σ^{2}

$\sigma^2$

σ^{2}

$\sigma^2$

μ

$\mu$

π

$\pi$

n π (1 - π)

$n\pi(1-\pi)$

θ

$\theta$

κ

$\kappa$

μ = κ θ

$\mu = \kappa \theta$ và phương sai là

, vì vậy phương sai thực sự là

κ t h e t a^{2}

$\kappa theta^2$

μ θ

$\mu \theta$

— Wolfgang

Sau đó, hãy xem xét sửa đổi câu hỏi của bạn, bởi vì câu trả lời bạn đã chọn là câu trả lời ưa thích của bạn không trả lời câu hỏi như câu hỏi đó (và câu hỏi khác thì không). Hiện tại bạn đang sử dụng từ "độc lập" theo cách bình dị. Ví dụ của bạn với Gamma cho thấy điều này: người ta có thể chỉ cần xác định lại Gamma theo giá trị trung bình (mu) và phương sai (sigma), bởi vì chúng ta có thể khôi phục theta = sigma / mu và kappa = mu ^ 2 / sigma. Nói cách khác, "tính độc lập" chức năng của các tham số thường là vô nghĩa (ngoại trừ các họ tham số đơn).

— whuber

Câu trả lời:

Lưu ý: Vui lòng đọc câu trả lời của @G. Jay Kerns, và xem Carlin và Lewis 1996 hoặc tài liệu tham khảo xác suất yêu thích của bạn để tìm hiểu về cách tính trung bình và phương sai là giá trị kỳ vọng và giây thứ hai của một biến ngẫu nhiên.

Quét nhanh Phụ lục A trong Carlin và Lewis (1996) cung cấp các phân phối sau tương tự như bình thường, trong đó các tham số phân phối tương tự không được sử dụng trong tính toán giá trị trung bình và phương sai. Như @robin đã chỉ ra, khi tính toán các ước tính tham số từ một mẫu, giá trị trung bình của mẫu được yêu cầu để tính sigma.

Đa biến bình thường

E (X) = = μ

$E(X) = \mu$

V một r (X) = = Σ

$Var(X) = \Sigma$

t và đa biến t:

E (X) = = μ

$E(X) = \mu$

V một r (X) = = ν σ^{2} / (ν - 2)

$Var(X) = \nu\sigma^2/(\nu - 2)$

Đôi mũ:

E (X) = = μ

$E(X) = \mu$

V một r (X) = = 2 σ^{2}

$Var(X) = 2\sigma^2$

Cauchy: Với một số phẩm chất, có thể lập luận rằng giá trị trung bình và phương sai của Cauchy không phụ thuộc.

$E(X)$ $Var(X)$

Tài liệu tham khảo

Carlin, Bradley P. và Thomas A. Louis. 1996. Bayes và Bayes Empesical Phương pháp phân tích dữ liệu, tái bản lần 2. Chapman và Hội trường / CRC, New York

— David LeBauer
nguồn

Trong bất kỳ gia đình quy mô địa điểm nào , giá trị trung bình và phương sai sẽ độc lập về mặt chức năng theo cách này!

— whuber

David, số mũ đôi là một ví dụ tuyệt vời. Cảm ơn! Tôi đã không nghĩ về điều đó. Phân phối t cũng là một ví dụ tốt, nhưng không phải E (X) = 0 và Var (X) = v / (v-2)? Hay Carlin et al. (1996) định nghĩa một phiên bản tổng quát của phân phối t được dịch chuyển theo ý nghĩa của nó và được chia tỷ lệ theo sigma ^ 2?

— Wolfgang

Bạn đã đúng, phân phối t dường như thường được đặc trưng với giá trị trung bình = 0 và phương sai = 1, nhưng pdf chung cho t do Carlin và Louis cung cấp rõ ràng bao gồm cả sigma và mu; tham số nu chiếm sự khác biệt giữa bình thường và t.

— David LeBauer

Trong thực tế, câu trả lời là "không". Độc lập của trung bình mẫu và phương sai đặc trưng cho phân phối chuẩn. Điều này đã được thể hiện bởi Eugene Lukacs trong "Một đặc tính của phân phối chuẩn", Biên niên sử về thống kê toán học, Tập. 13, Số 1 (Mar, 1942), trang 91-93.

Tôi không biết điều này, nhưng Feller, "Giới thiệu về Lý thuyết xác suất và ứng dụng của nó, Tập II" (1966, trg 86) nói rằng RC Geary cũng đã chứng minh điều này.

@onestop Tôi đoán đó là một cổ vật không may mắn ở tuổi tôi. Không phải nói quá khi nói rằng sách của Fell đã cách mạng hóa cách xác suất được thực hiện - trên toàn thế giới. Một phần lớn ký hiệu hiện đại của chúng ta là do anh ấy. Trong nhiều thập kỷ, sách của ông là những cuốn sách xác suất để nghiên cứu. Có lẽ họ vẫn nên như vậy. BTW: Tôi đã thêm tiêu đề cho những người chưa nghe về sách của anh ấy.

Tôi có một câu hỏi về đặc tính thú vị khác ... stats.stackexchange.com/questions/4364/ từ

— robin girard

Jay, cảm ơn đã tham khảo bài báo của Lukacs, người đã chỉ ra một cách độc đáo rằng các phân phối mẫu của giá trị trung bình và phương sai mẫu chỉ độc lập với phân phối chuẩn. Đối với khoảnh khắc trung tâm thứ hai, có một số phân phối mà nó không phải là chức năng của khoảnh khắc đầu tiên (David đã đưa ra một số ví dụ hay).

— Wolfgang

Geary, RC (1936), Từ phân phối tỷ lệ 'Sinh viên' cho các mẫu không bình thường, Tạp chí của Hiệp hội Thống kê Hoàng gia, Phụ. 3, 178 Hậu184.

— vqv