Một phân phối xác suất có thể có độ lệch chuẩn vô hạn?

Tôi tin rằng là phân phối xác suất, trong đó $p[x]$

p [x] = \frac{1}{π (1 + x^{2})}

$\begin{equation} p[x] = \frac{1}{\pi (1+x^2)} \end{equation}$

vì nó tích cực ở mọi nơi và tích hợp thành 1 trên . $-\infty, \infty$

Giá trị trung bình là 0 theo đối xứng, mặc dù tích hợp trên không hội tụ. Điều này là "đáng ngờ" vì được coi là phân phối xác suất, nhưng hợp lý vì là được biết là phân kỳ. $xp[x]$ $-\infty, \infty$ $p[x]$ $xp[x]$ $O(1/x)$

Vấn đề lớn hơn là tính toán độ lệch chuẩn. Vì cũng phân kỳ, vì là . $x^2 p[x]$ $x^2 p[x]$ $O(1)$

Nếu đây không phải là một phân phối xác suất, tại sao không? Nếu có, độ lệch chuẩn của nó là vô hạn?

Hàm phân phối tích lũy là nếu điều đó có ích. $\arctan[x]/\pi$

Ai đó đã đề cập đây có thể là một bản phân phối gamma, nhưng điều đó không rõ ràng với tôi.

distributions standard-deviation

— barrycarter
nguồn

@ user1566: Tôi định dạng phương trình của bạn bằng LaTex. Bạn có kiểm tra lại xem tôi có giới thiệu lỗi gì không?

— csgillespie

Cảm ơn, vấn đề đã được giải quyết, vì vậy không còn là vấn đề lớn nữa, nhưng, vâng, mọi thứ đều ổn.

— barrycarter

Giá trị trung bình của một Cauchy không bằng không. Trên thực tế, nó không tồn tại. Do đó, không có bất kỳ khoảnh khắc trung tâm của nó.

— Đức hồng y

câu trả lời của tôi cho một câu hỏi liên quan có thể được tìm thấy ở đây. stats.stackexchange.com/questions/232967/ Cách

— Haitao Du

Câu trả lời:

Để trả lời tiêu đề câu hỏi của bạn: Có, phân phối xác suất có thể có độ lệch chuẩn vô hạn (xem bên dưới).

Ví dụ của bạn là một trường hợp đặc biệt của phân phối Cauchy có trung bình hoặc phương sai không tồn tại. Đặt tham số vị trí thành 0 và tỷ lệ thành 1 cho Cauchy để chuyển sang pdf của bạn.

Có một sự khác biệt giữa giá trị trung bình và phương sai không tồn tại và chúng là vô hạn.

— Đức hồng y

Phân phối Cauchy không có giá trị trung bình hoặc phương sai, trong đó tích phân không hội tụ với bất cứ thứ gì trong . Tuy nhiên, phân phối như trên có giá trị trung bình, nhưng độ lệch chuẩn là vô hạn. $[-\infty,\infty]$ $f(x)=\frac{2}{x^3}$ $[1,\infty)$

— Alex R.
nguồn