Cái nào là lớn nhất, trong một loạt các biến ngẫu nhiên thường được phân phối?

14

Tôi có các biến ngẫu nhiên $X_0,X_1,\dots,X_n$ . $X_0$ có phân phối chuẩn với trung bình $\mu>0$ và phương sai $1$ . Các $X_1,\dots,X_n$ RVs thường phân phối với trung bình $0$ và phương sai $1$ . Mọi thứ đều độc lập lẫn nhau.

Gọi là sự kiện là sự kiện lớn nhất trong số này, tức là . Tôi muốn tính toán hoặc ước tính . Tôi đang tìm một biểu thức cho , như là một hàm của hoặc ước tính hoặc xấp xỉ hợp lý cho . $E$ $X_0$ $X_0 > \max(X_1,\dots,X_n)$ $\Pr[E]$ $\Pr[E]$ $\mu,n$ $\Pr[E]$

Trong ứng dụng của tôi, $n$ được cố định ( $n=61$ ) và tôi muốn tìm giá trị nhỏ nhất cho $\mu$ tạo ra $\Pr[E] \ge 0.99$ , nhưng tôi cũng tò mò về câu hỏi chung.

probability normal-distribution

— DW
nguồn

lớn

n

$n$ bao nhiêu? Phải có một số biểu thức tiệm cận tốt dựa trên lý thuyết mẫu lớn.

— whuber

@whuber, cảm ơn! Tôi đã chỉnh sửa câu hỏi: trong trường hợp của tôi

n = 61

$n=61$ . Ngay cả khi

n = 61

$n=61$ không đủ lớn để tính là lớn, nếu có ước tính tiệm cận tốt trong trường hợp

n

$n$ lớn, điều đó sẽ rất thú vị.

— DW

5

Sử dụng tích hợp số, .

μ \approx 4.91912496

$\mu \approx 4.91912496$

— whuber

14

Việc tính toán các xác suất như vậy đã được các kỹ sư truyền thông nghiên cứu rộng rãi dưới tên -ary báo hiệu trực giao trong đó mô hình là một trong những tín hiệu trực giao có năng lượng tương đương được truyền đi và người nhận cố gắng quyết định xem tín hiệu nào được truyền đi bằng cách kiểm tra đầu ra của bộ lọc khớp với tín hiệu. Được xác định dựa trên nhận dạng của tín hiệu được truyền, các đầu ra mẫu của các bộ lọc khớp là các biến ngẫu nhiên bình thường đơn vị độc lập (có điều kiện). Đầu ra mẫu của bộ lọc khớp với tín hiệu được truyền là biến ngẫu nhiên trong khi đầu ra của tất cả các bộ lọc khác là $M$ $M$ $M$ $N(\mu,1)$ $N(0,1)$ biến ngẫu nhiên.

Các điều kiện xác suất của một quyết định đúng đắn (mà trong bối cảnh hiện nay là sự kiện ) lạnh trên là trong đó là phân phối xác suất tích lũy của một tiêu chuẩn biến ngẫu nhiên bình thường và do đó xác suất vô điều kiện là trong đó $C = \{X_0 > \max_i X_i\}$ $X_0 = \alpha$

P (C ∣ X_{0} = α) = \prod_{i = 1}^{n} P {X_{i} < α | X_{0} = = α} = = {[Φ (α)]}^{n}

$P(C \mid X_0 = \alpha) = \prod_{i=1}^n P\{X_i < \alpha \mid X_0 = \alpha\} = \left[\Phi(\alpha)\right]^n$

Φ (\cdot)

$\Phi(\cdot)$

P (C) = \int_{- \infty}^{\infty} P (C ∣ X_{0} = α) ϕ (α - μ) d α = \int_{- \infty}^{\infty} {[Φ (α)]}^{n} ϕ (α - μ) d α

$P(C) = \int_{-\infty}^{\infty}P(C \mid X_0 = \alpha) \phi(\alpha-\mu)\,\mathrm d\alpha = \int_{-\infty}^{\infty}\left[\Phi(\alpha)\right]^n \phi(\alpha-\mu)\,\mathrm d\alpha$

ϕ (\cdot)

$\phi(\cdot)$ là hàm mật độ chuẩn thông thường. Không có biểu thức dạng đóng cho giá trị của tích phân này phải được đánh giá bằng số. Các kỹ sư cũng quan tâm đến sự kiện bổ sung - rằng quyết định đó là do lỗi - nhưng không thích tính toán này là vì điều này yêu cầu đánh giá rất cẩn thận về tích phân cho với độ chính xác của nhiều chữ số có nghĩa, và việc đánh giá như vậy vừa khó khăn vừa tốn thời gian. Thay vào đó, tích phân cho có thể được tích hợp bởi các bộ phận để có được

P {X_{0} < \underset{Tôi}{tối đa} X_{Tôi}} = = P (E) = = 1 - P (C)

$P\{X_0 < \max_i X_i\} = P(E) = 1-P(C)$

P (C)

$P(C)$

1 - P (C)

$1-P(C)$

P {X_{0} < \underset{Tôi}{tối đa} X_{Tôi}} = = \int_{- \infty}^{\infty} n {[Φ (α)]}^{n - 1} φ (α) Φ (α - μ) d α .

$P\{X_0 < \max_i X_i\} = \int_{-\infty}^{\infty} n \left[\Phi(\alpha)\right]^{n-1}\phi(\alpha) \Phi(\alpha - \mu)\,\mathrm d\alpha.$ Tích phân này dễ dàng hơn để đánh giá bằng số và giá trị của nó như là một hàm của được biểu đồ hóa và lập bảng (mặc dù không may chỉ cho ) trong Chương 5 của Kỹ thuật hệ thống viễn thông của Lindsey và Simon, Prentice-Hall 1973, Dover Nhấn 1991. Ngoài ra, các kỹ sư sử dụng bất đẳng thức liên kết hoặc Bonferroni trong đó là hàm phân phối chuẩn tích lũy bổ sung.

μ

$\mu$

n \leq 20

$n \leq 20$

\begin{aligned} P {X_{0} < \underset{Tôi}{tối đa} X_{Tôi}} & = = P {(X_{0} < X_{1}) \cup (X_{0} < X_{2}) \cup \dots \cup (X_{0} < X_{n})} \\ \leq Σ_{Tôi = = 1}^{n} P {X_{0} < X_{Tôi}} \\ = = n Q (\frac{μ}{\sqrt{2}}) \end{aligned}

$\begin{align*} P\{X_0 < \max_i X_i\} &= P\left\{(X_0 < X_1)\cup (X_0 < X_2) \cup \cdots \cup (X_0 < X_n)\right\}\\ &\leq \sum_{i=1}^{n}P\{X_0 < X_i\}\\ &= nQ\left(\frac{\mu}{\sqrt{2}}\right) \end{align*}$

Q (x) = 1 - Φ (x)

$Q(x) = 1-\Phi(x)$

Từ liên kết bị ràng buộc, chúng tôi thấy rằng giá trị mong muốn cho được giới hạn ở trên bởi có giá trị tại . Giá trị này lớn hơn một chút so với giá trị chính xác hơn thu được bởi @whuber bằng tích hợp số. $0.01$ $P\{X_0 < \max_i X_i\}$ $60\cdot Q(\mu/\sqrt{2})$ $0.01$ $\mu = 5.09\ldots$ $\mu = 4.919\ldots$

Có thể tìm thấy nhiều thảo luận và chi tiết hơn về tín hiệu trực giao -ary trên trang 161-179 của bài giảng của tôi cho một lớp học về các hệ thống truyền thông ' $M$

— Dilip Sarwate
nguồn

4

Một câu trả lời chính thức:

Phân phối xác suất (mật độ) cho tối đa của iid biến thiên là: trong đó là mật độ xác suất và là hàm phân phối tích lũy . $N$ $p_N(x)= N p(x) \Phi^{N-1}(x)$ $p$ $\Phi$

Từ đó, bạn có thể tính xác suất lớn hơn khác thông qua $X_0$ $N-1$ $P(E) = (N-1) \int_{-\infty}^{\infty} \int_y^{\infty} p(x_0) p(y) \Phi^{N-2}(y) dx_0 dy$

Bạn có thể cần xem xét các xấp xỉ khác nhau để giải quyết vấn đề này cho ứng dụng cụ thể của bạn.

— Dave
nguồn

6

+1 Trên thực tế, tích phân kép đơn giản hóa thành một tích phân đơn vì cho giống như trong câu trả lời của tôi.

\int_{y}^{\infty} p (x_{0}) d x_{0} = = 1 - Φ (y - μ)

$\int_y^\infty p(x_0)\,\mathrm dx_0 = 1 - \Phi(y-\mu)$

P (E) = = 1 - (N - 1) \int_{- \infty}^{\infty} Φ^{N - 2} (y) p (y) Φ (y - μ) d y

$P(E) = 1 - (N-1)\int_{-\infty}^\infty \Phi^{N-2}(y)p(y)\Phi(y-\mu)\,\mathrm dy$

— Dilip Sarwate