Là các biến ngẫu nhiên có tương quan khi và chỉ khi thứ hạng của chúng có tương quan?

Giả sử là các biến ngẫu nhiên liên tục với các giây thứ hai hữu hạn. Phiên bản dân số của hệ số tương quan xếp hạng của Spearman có thể được định nghĩa là hệ số thời điểm sản phẩm của Pearson của các tích phân xác suất biến đổi và , trong đó là cdf của và , nghĩa là,ρ$X,Y$$ρ_s$F Y ( Y ) F X , F Y X $F_X(X)$$F_Y(Y)$$F_X,F_Y$$X$$Y$

$ρ_s(X,Y)=ρ(F(X),F(Y))$ .

Tôi tự hỏi liệu người ta thường có thể kết luận rằng

$ρ(X,Y)≠0↔ρ(F(X),F(Y))≠0$ ?

Tức là, chúng ta có tương quan tuyến tính khi và chỉ khi chúng ta có tương quan tuyến tính giữa các cấp bậc?

Cập nhật: Trong các ý kiến, hai ví dụ được đưa ra tại sao

$\rho(F_X(X),F_Y(Y))=0\rightarrow \rho(X,Y) = 0$

nói chung là không đúng, ngay cả khi và có cùng phân phối. Vì vậy, câu hỏi nên được cải cách thành$X$$Y$

$\rho(X,Y) = 0 \rightarrow \rho(F_X(X),F_Y(Y))$ ?

Tôi cũng rất quan tâm liệu điều này có đúng / sai hay không nếu $X$ và $Y$ có cùng phân phối.

(Lưu ý: Nếu $X$ và $Y$ phụ thuộc vào góc phần tư dương, nghĩa là $δ(x,y)=F_{X,Y}(x,y)−F_X(x)F_Y(y)>0$ thì công thức hiệp phương sai của Hoeffding là $Cov(X,Y)=∫∫δ(x,y)dxdy$ mang lại rằng $ρ(X,Y)>0$ và $ρ(F(X),F(Y))>0$ )

Không mối tương quan nào bằng 0 nhất thiết phải cho bạn biết nhiều về cái khác, vì chúng 'trọng lượng' dữ liệu - đặc biệt là dữ liệu cực đoan - hoàn toàn khác nhau. Tôi chỉ chơi với các mẫu, nhưng các ví dụ tương tự có thể được xây dựng với các bản phân phối / công thức bivariate.

1. Tương quan Spearman 0 không ngụ ý tương quan Pearson 0 :

Như đã đề cập trong câu hỏi, có các ví dụ trong các bình luận, nhưng cấu trúc cơ bản là "xây dựng một trường hợp trong đó tương quan Spearman là 0, sau đó lấy một điểm cực đoan và làm cho nó cực đoan hơn mà không thay đổi tương quan Spearman"

Các ví dụ trong các bình luận bao gồm rất tốt, nhưng tôi sẽ chơi với một ví dụ 'ngẫu nhiên' hơn ở đây. Vì vậy, hãy xem xét dữ liệu này (tính bằng R), do xây dựng có cả tương quan Spearman và Pearson 0:

x=c(0.660527211673069, 0.853446087136149, -0.00673848667511427, 
-0.730570343152498, 0.0519171047989013, 0.00190761493801791, 
-0.72628058443299, 2.4453231076856, -0.918072410495674, -0.364060229489348, 
-0.520696233492491, 0.659907250608776)
y=c(-0.0214697990371976, 0.255615059485107, 1.10561181413232, 0.572216886959267, 
-0.929089680725018, 0.530329993414123, -0.219422799586819, -0.425186120279194, 
-0.848952532832652, 0.859700836483046, -0.00836246690850083, 
1.43806947831794)

cor(x,y);cor(x,y,method="sp")
[1] 1.523681e-18
[1] 0

Bây giờ thêm 1000 vào y [12] và trừ 0,6 từ x [9]; tương quan Spearman không thay đổi nhưng tương quan Pearson hiện là 0.1841:

  ya=y
  ya[12]=ya[12]+1000
  xa=x
  xa[9]=xa[9]-.6
  cor(xa,ya);cor(xa,ya,method="sp")
[1] 0.1841168
[1] 0

(Nếu bạn muốn có ý nghĩa mạnh mẽ về mối tương quan Pearson đó, chỉ cần sao chép toàn bộ mẫu nhiều lần.)

2. Tương quan Pearson 0 không ngụ ý tương quan Spearman 0 :

Dưới đây là hai ví dụ có tương quan Pearson bằng 0 nhưng tương quan Spearman khác không (và một lần nữa, nếu bạn muốn có ý nghĩa mạnh mẽ đối với các tương quan Spearman này, chỉ cần sao chép toàn bộ mẫu nhiều lần).

Ví dụ 1:

 x1=c(rep(-3.4566679074320789866,20),-2:5)
 y1=x1*x1
 cor(x1,y1);cor(x1,y1,method="spe")
[1] -8.007297e-17 
[1] -0.3512699   

Ví dụ 2:

 k=16.881943016134132 
 x2=c(-9:9,-k,k)
 y2=c(-9:9,k,-k)
 cor(x2,y2);cor(x2,y2,method="spe")
[1] -9.154471e-17
[1] 0.4805195

Trong ví dụ cuối cùng này, mối tương quan Spearman có thể được làm cho mạnh mẽ hơn bằng cách thêm nhiều điểm hơn vào y = x trong khi làm cho hai điểm ở trên cùng bên trái và dưới cùng bên phải cực hơn để duy trì tương quan Pearson ở mức 0.