Liệu Định lý giới hạn trung tâm đa biến (CLT) có giữ được khi các biến thể hiện sự phụ thuộc hoàn toàn đương thời không?

Tiêu đề tổng hợp câu hỏi của tôi, nhưng để rõ ràng hãy xem xét ví dụ đơn giản sau đây. Đặt , i = 1, ..., n . Xác định: \ started {phương trình} S_n = \ frac {1} {n} \ sum_ {i = 1} ^ n X_i \ end {phương trình} và \ started {phương trình} T_n = \ frac {1} {n} \ sum_ {i = 1} ^ n (X_i ^ 2 - 1) \ end {phương trình} Câu hỏi của tôi: Mặc dù S_n và T_n hoàn toàn phụ thuộc khi n = 1 , do \ sqrt {n} S_n và \ sqrt {n} T_n hội tụ đến một phân phối bình thường chung như n \ rightarrow \ infty ?$X_i \overset{iid}{\backsim} \mathcal{N}(0, 1)$$i = 1, ..., n$

Động lực: Động lực của tôi cho câu hỏi bắt nguồn từ thực tế rằng nó cảm thấy kỳ lạ (nhưng tuyệt vời) rằng $S_n$ và $T_n$ hoàn toàn phụ thuộc khi $n = 1$ , nhưng ý nghĩa của CLT đa biến là chúng tiếp cận độc lập như $n \rightarrow \infty$ (điều này sẽ xảy ra do $S_n$ và $T_n$ không tương thích với tất cả $n$ , do đó nếu chúng không có triệu chứng khớp bình thường, thì chúng cũng phải độc lập không có triệu chứng).

Cảm ơn trước cho bất kỳ câu trả lời hoặc ý kiến!

ps, Nếu bạn có thể cung cấp bất kỳ tài liệu tham khảo vv, thì tốt hơn hết!

Câu trả lời ngắn gọn như tôi hiểu q của bạn là "có, nhưng ..." tốc độ hội tụ trên S, T và bất kỳ khoảnh khắc nào khác không nhất thiết giống nhau - hãy kiểm tra xác định giới hạn với Định lý Berry-Esseen .

Trong trường hợp tôi hiểu nhầm q của bạn, Sn và Tn thậm chí giữ CLT trong điều kiện phụ thuộc yếu (trộn): kiểm tra CLT của Wikipedia để biết các quy trình phụ thuộc .

CLT là một định lý chung như vậy - bằng chứng cơ bản không đòi hỏi gì nhiều hơn hàm đặc trưng của Sn và Tn hội tụ đến hàm đặc trưng của chuẩn thông thường, sau đó Định lý Levy Continuity cho biết sự hội tụ của hàm đặc trưng ngụ ý sự hội tụ của phân phối.

John Cook cung cấp một lời giải thích tuyệt vời về lỗi CLT ở đây .

Điều này không chứng minh bất cứ điều gì, tất nhiên, nhưng tôi luôn thấy việc thực hiện mô phỏng và vẽ đồ thị rất tiện dụng để hiểu được kết quả lý thuyết.

Đây là một trường hợp đặc biệt đơn giản. Chúng tôi tạo ra biến thiên bình thường ngẫu nhiên và tính toán và ; lặp lại lần. Đồ thị là các đồ thị cho và . Thật dễ dàng để thấy sự phụ thuộc suy yếu khi tăng lên; tại đồ thị gần như không thể phân biệt được với sự độc lập.$n$$S_n$$T_n$$m$$n = 1, 10, 100$$1000$$n$$n = 100$

test <- function (m, n) 
{
    r <- matrix(rnorm(m * n), nrow = m)
    cbind(rowMeans(r), rowSums(r^2 - 1)/n)
}

par(mfrow=c(2,2))
plot(test(100, 1))
plot(test(100, 2))
plot(test(100, 5))
plot(test(100, 100))