Mô hình ước tính mật độ dân số

Một cơ sở dữ liệu về (dân số, diện tích, hình dạng) có thể được sử dụng để ánh xạ mật độ dân số bằng cách gán một giá trị dân số / diện tích không đổi cho mỗi hình dạng (là một đa giác như khối Điều tra dân số, đường, quận, tiểu bang, bất cứ điều gì). Tuy nhiên, dân số thường không được phân phối đồng đều trong đa giác của họ. Ánh xạ phân tích là quá trình tinh chỉnh các ước tính mật độ này bằng dữ liệu phụ trợ. Đó là một vấn đề quan trọng trong khoa học xã hội như đánh giá gần đây cho thấy.

Sau đó, giả sử rằng chúng tôi có sẵn một bản đồ phụ trợ về độ che phủ đất (hoặc bất kỳ yếu tố riêng biệt nào khác). Trong trường hợp đơn giản nhất, chúng ta có thể sử dụng các khu vực rõ ràng không thể ở được như thủy vực để phân định nơi dân cư không và theo đó, chỉ định tất cả dân số cho các khu vực còn lại. Tổng quát hơn, mỗi đơn vị Điều tra dân số được khắc thành phần có diện tích bề mặt , . Do đó, tập dữ liệu của chúng tôi được bổ sung vào danh sách các bộ dữ liệu$j$$k$$x_{ji}$$i = 1, 2, \ldots, k$

trong đó là dân số (giả định được đo không có lỗi) trong đơn vị và - mặc dù điều này không hoàn toàn đúng - chúng ta có thể giả sử mọi cũng được đo chính xác. Trong các điều khoản này, mục tiêu là phân vùng mỗi thành một tổng$y_{j}$$j$$x_{ji}$$y_{j}$

trong đó mỗi $z_{ji} \ge 0$ và $z_{ji}$ ước tính dân số trong đơn vị $j$ cư trú trong lớp phủ đất $i$ . Các ước tính cần phải được thiên vị. Phân vùng này tinh chỉnh bản đồ mật độ dân số bằng cách gán mật độ $z_{ji}/x_{ji}$ cho giao điểm của $j^{\text{th}}$ Đa giác điều tra dân số và lớp phủ đất $i^{\text{th}}$ .

Vấn đề này khác với cài đặt hồi quy tiêu chuẩn theo các cách nổi bật:

1. Việc phân vùng của mỗi $y_{j}$ phải chính xác.
2. Các thành phần của mọi phân vùng phải không âm.
3. Không có (theo giả định) không có lỗi trong bất kỳ dữ liệu nào: tất cả dân số đều tính $y_{j}$ và tất cả các khu vực $x_{ji}$ đều đúng.

Có nhiều cách tiếp cận đối với một giải pháp, chẳng hạn như phương pháp " ánh xạ dasymetric thông minh ", nhưng tất cả những gì tôi đã đọc đều có các yếu tố đặc biệt và tiềm năng rõ ràng cho sự thiên vị. Tôi đang tìm kiếm câu trả lời gợi ý các phương pháp thống kê sáng tạo, có thể tính toán được. Ứng dụng ngay lập tức liên quan đến một bộ sưu tập của c. $10^{5}$ - $10^{6}$ Đơn vị điều tra dân số trung bình 40 người mỗi người (mặc dù một phần khá lớn có 0 người) và khoảng một chục lớp phủ đất.

Bạn có thể muốn kiểm tra công việc của Mitchel Langford trên bản đồ dasymetric.

Ông xây dựng các raster đại diện cho phân bố dân số của xứ Wales và một số phương pháp phương pháp của ông có thể hữu ích ở đây.

Cập nhật: Bạn cũng có thể có một cái nhìn tại nơi làm việc của Jeremy Mennis (đặc biệt là những hai bài báo).

Câu hỏi thú vị. Đây là một cú đâm dự kiến ​​khi tiếp cận điều này từ góc độ thống kê. Giả sử rằng chúng tôi đưa ra một cách để gán số lượng dân số cho từng khu vực . Biểu thị mối quan hệ này như sau:$x_{ji}$

$z_{ji} = f(x_{ji},\beta)$

Rõ ràng, bất kỳ dạng chức năng nào chúng ta áp đặt cho Sẽ có giá trị gần đúng nhất với mối quan hệ thực và do đó cần kết hợp lỗi vào phương trình trên. Do đó, những điều trên trở thành:$f(.)$

$z_{ji} = f(x_{ji},\beta) + \epsilon_{ji}$

Ở đâu,

$\epsilon_{ji} \sim N(0,\sigma^2)$

Giả định lỗi phân phối về thời hạn lỗi là nhằm mục đích minh họa. Nếu cần chúng ta có thể thay đổi nó khi thích hợp.

Tuy nhiên, chúng ta cần một phân tách chính xác của . Vì vậy, chúng ta cần áp đặt một ràng buộc đối với các điều khoản lỗi và hàm Như dưới đây: f ( . $y_{ji}$$f(.)$

$\sum_i{\epsilon_{ji}} = 0$

$\sum_i{f(x_{ji},\beta)} = y_j$

Suy ra vectơ xếp chồng của bởi và các thuật ngữ xác định xếp chồng của bởi . Như vậy, chúng ta có: z j f ( x j i , β ) f ${z_{ji}}$$z_j$${f(x_{ji},\beta)}$$f_j$

$z_j \sim N(f_j,\sigma^2 I) I({f_j}' e = y_j) I((z_j-f_j)' e = 0)$

Ở đâu,

$e$ là một vectơ của các chiều có kích thước phù hợp.

Ràng buộc chỉ báo đầu tiên nắm bắt ý tưởng rằng tổng các thuật ngữ xác định sẽ tổng hợp với và điều khoản thứ hai nắm bắt ý tưởng rằng phần dư lỗi sẽ tổng bằng 0.$y_j$

Lựa chọn mô hình phức tạp hơn khi chúng ta đang phân tách chính xác được quan sát . Có lẽ, một cách để tiếp cận lựa chọn mô hình là chọn mô hình mang lại phương sai sai số thấp nhất, tức là mô hình mang lại ước tính thấp nhất của .$y_j$$\sigma^2$

Chỉnh sửa 1

Suy nghĩ thêm một số công thức trên có thể được đơn giản hóa vì nó có nhiều ràng buộc hơn mức cần thiết.

$z_{ji} = f(x_{ji},\beta) + \epsilon_{ji}$

Ở đâu,

$\epsilon_{ji} \sim N(0,\sigma^2)$

Suy ra vectơ xếp chồng của bởi và các thuật ngữ xác định xếp chồng của bởi . Như vậy, chúng ta có:${z_{ji}}$$z_j$${f(x_{ji},\beta)}$$f_j$

$z_j \sim N(f_j,\sigma^2 I) I({z_j}' e = y_j)$

Ở đâu,

$e$ là một vectơ của các chiều có kích thước phù hợp.

Ràng buộc trên đảm bảo phân tách chính xác.$z_j$