Tổng các biến ngẫu nhiên Binomial và Poisson

Nếu chúng ta có hai biến ngẫu nhiên độc lập và , hàm khối lượng xác suất của gì?$X_1 \sim \mathrm{Binom}(n,p)$$X_2 \sim \mathrm{Pois}(\lambda)$$X_1 + X_2$

NB Đây không phải là bài tập về nhà cho tôi.

Bạn sẽ kết thúc với hai công thức khác nhau cho , một cho và một cho . Cách dễ nhất để thực hiện vấn đề này là tính toán sản phẩm của và . Khi đó, là hệ số của trong sản phẩm. Không đơn giản hóa các khoản tiền là có thể.$p_{X_1+X_2}(k)$$0 \leq k < n$$k \geq n$$\sum_{i=0}^n p_{X_1}(i)z^k$$\sum_{j=0}^{\infty}p_{X_2}(j)z^j$$p_{X_1+X_2}(k)$$z^k$

Đưa ra công thức khép kín về các hàm siêu bội tổng quát (GHF) gợi ý trong các câu trả lời khác (GHF trong trường hợp này thực sự chỉ là một đa thức hữu hạn, do đó, là một tốc ký cho tổng hữu hạn.) Tôi đã sử dụng maple để tính tổng chập, với kết quả này:

Dilip Sarwate tuyên bố 7 năm trước rằng không thể đơn giản hóa, mặc dù điều này đã bị thách thức trong các bình luận. Tuy nhiên, tôi nghĩ sẽ hữu ích khi lưu ý rằng ngay cả khi không có bất kỳ sự đơn giản hóa nào, việc tính toán khá đơn giản trong bất kỳ bảng tính hoặc ngôn ngữ lập trình nào.

Đây là một triển khai trong R:

# example parameters
n <- 10
p <- .3
lambda <- 5

# probability for just a single value
x <- 10  # example value
sum(dbinom(0:x, n, p) * dpois(x:0, lambda))

# probability function for all values
x0  <- 0:30   # 0 to the maximum value of interest
x   <- outer(x0, x0, "+")
db  <- dbinom(x0, n, p)
dp  <- dpois(x0, lambda)
dbp <- outer(db, dp)
aggregate(as.vector(dbp), by=list(as.vector(x)), sum)[1:(max(x0)+1),]