pdf của sản phẩm của hai biến ngẫu nhiên X và Y độc lập là gì, nếu X và Y độc lập? X là phân phối chuẩn và Y là phân phối vuông góc.

Z = XY

nếu có phân phối bình thường và có phân phối Chi bình phương với bậc tự do whre là hàm bước đơn vị.$X$

$$X\sim N(\mu_x,\sigma_x^2)$$ $$f_X(x)={1\over\sigma_x\sqrt{2\pi}}e^{-{1\over2}({x-\mu_x\over\sigma_x})^2}$$ $Y$$k$ $$Y\sim \chi_k^2$$ u(y $$f_Y(y)={y^{(k/2)-1}e^{-y/2}\over{2^{k/2}\Gamma({k\over2})}}u(y)$$ $u(y)$

Bây giờ, pdf của gì nếu và độc lập?X $Z$$X$$Y$

Một cách để tìm ra giải pháp là sử dụng kết quả Rohatgi của nổi tiếng (1976, p.141) nếu là pdf doanh liên tục RV của và , các pdf của là X Y Z f Z ( z ) = ∫ ∞ - ∞$f_{XY}(x,y)$$X$$Y$$Z$

$$f_Z(z) = \int_{-\infty}^{\infty}{{1\over|y|}f_{XY}({z\over y},y)dy}$$

vì, và là độc lập Trường hợp chúng ta phải đối mặt với vấn đề giải tích phân . Bất cứ ai có thể giúp tôi với vấn đề này.Y f X Y ( x , y ) = f X ( x ) f Y ( y ) f Z ( z ) = ∫ ∞ - ∞$X$$Y$$f_{XY}(x,y)=f_X(x)f_Y(y)$ fZ(z)=

$$f_Z(z) = \int_{-\infty}^{\infty}{{1\over|y|}f_{X}({z\over y})f_{Y}(y)dy}$$ $$f_Z(z) = {1\over\sigma_x\sqrt{2\pi}}{1\over{2^{k/2}\Gamma({k\over2})}}\int_{0}^{\infty}{{1\over|y|}e^{-{1\over2}({{z\over y}-\mu_x\over\sigma_x})^2} {y^{(k/2)-1}e^{-y/2}}dy}$$ $\int_{0}^{\infty}{{1\over|y|}e^{-{1\over2}({{z\over y}-\mu_x\over\sigma_x})^2} {y^{(k/2)-1}e^{-y/2}}dy}$

Có cách nào khác để giải quyết điều này?

đơn giản hóa thuật ngữ trong tích phân để

$T=e^{-\frac{1}{2}((\frac{\frac{z}{y}-\mu_x}{\sigma_x} )^2 -y)} y^{k/2-2}$

tìm đa thức sao cho$p(y)$

$[p(y)e^{-\frac{1}{2}((\frac{\frac{z}{y}-\mu_x}{\sigma_x} )^2 -y)}]'=p'(y)e^{-\frac{1}{2}((\frac{\frac{z}{y}-\mu_x}{\sigma_x} )^2 -y)} + p(y) [-\frac{1}{2}((\frac{\frac{z}{y}-\mu_x}{\sigma_x} )^2 -y)]' e^{-\frac{1}{2}((\frac{\frac{z}{y}-\mu_x}{\sigma_x} )^2 -y)} = T$

làm giảm tìm sao cho$p(y)$

$p'(y) + p(y) [-\frac{1}{2}((\frac{\frac{z}{y}-\mu_x}{\sigma_x} )^2 -y)]' = y^{k/2-2}$

hoặc là

$p'(y) -\frac{1}{2} p(y) (\frac{z \mu_x }{\sigma_x^2} y^{-2} \frac{z^2}{\sigma_x^2} y^{-3} -1)= y^{k/2-2}$

$y$

---

chỉnh sửa sau khi bình luận

Giải pháp trên sẽ không hoạt động khi nó phân kỳ.

Tuy nhiên, một số người khác đã làm việc về loại sản phẩm này.

Sử dụng biến đổi Fourrier:

Schoenecker, Steven và Tod Luginbuhl. "Các chức năng đặc trưng của sản phẩm của hai biến ngẫu nhiên Gaussian và sản phẩm của biến ngẫu nhiên Gaussian và Gamma." Thư xử lý tín hiệu IEEE 23.5 (2016): 644-647. http://ieeexplore.ieee.org/document/7425177/#full-text-section

$Z=XY$$X \sim \mathcal{N}(0,1)$$Y \sim \Gamma(\alpha,\beta)$

$\varphi_{Z} = \frac{1}{\beta^\alpha }\vert t \vert^{-\alpha} exp \left( \frac{1}{4\beta^2t^2} \right) D_{-\alpha} \left( \frac{1}{\beta \vert t \vert } \right)$

$D_\alpha$

Sử dụng biến đổi Mellin:

Springer và Thomson đã mô tả chung hơn việc đánh giá các sản phẩm của các biến ngẫu nhiên phân phối beta, gamma và Gaussian.

Springer, MD và WE Thompson. "Việc phân phối các sản phẩm của các biến ngẫu nhiên beta, gamma và Gaussian." Tạp chí SIAM về Toán ứng dụng 18.4 (1970): 721-737. http://epub.siam.org/doi/10.1137/0118065

$Z$$X$$Y$

Họ không phân tích sản phẩm của biến phân phối Gaussian và gamma, mặc dù bạn có thể sử dụng các kỹ thuật tương tự. Nếu tôi cố gắng thực hiện việc này một cách nhanh chóng thì tôi tin rằng có thể có được chức năng H ( https://en.wikipedia.org/wiki/Fox_H-feft ) mặc dù tôi không trực tiếp thấy khả năng có được G- chức năng hoặc thực hiện các đơn giản hóa khác.

$M\lbrace f_Y(x) \vert s \rbrace = 2^{s-1} \Gamma(\tfrac{1}{2}k+s-1)/\Gamma(\tfrac{1}{2}k)$

và

$M\lbrace f_X(x) \vert s \rbrace = \frac{1}{\pi}2^{(s-1)/2} \sigma^{s-1} \Gamma(s/2)$

bạn lấy

$M\lbrace f_Z(x) \vert s \rbrace = \frac{1}{\pi}2^{\frac{3}{2}(s-1)} \sigma^{s-1} \Gamma(s/2) \Gamma(\tfrac{1}{2}k+s-1)/\Gamma(\tfrac{1}{2}k)$

and the distribution of $Z$ is:

$f_Z(y) = \frac{1}{2 \pi i} \int_{c-i \infty}^{c+i \infty} y^{-s} M\lbrace f_Z(x) \vert s \rbrace ds$

which looks to me (after a change of variables to eliminate the $2^{\frac{3}{2}(s-1)}$ term) as at least a H-function

what is still left is the puzzle to express this inverse Mellin transform as a G function. The occurrence of both $s$ and $s/2$ complicates this. In the separate case for a product of only Gaussian distributed variables the $s/2$ could be transformed into $s$ by substituting the variable $x=w^2$. But because of the terms of the chi-square distribution this does not work anymore. Maybe this is the reason why nobody has provided a solution for this case.