Tên của phân phối rời rạc này (phương trình sai phân đệ quy) tôi xuất phát là gì?

Tôi đã xem qua bản phân phối này trong một trò chơi trên máy tính và muốn tìm hiểu thêm về hành vi của nó. Nó xuất phát từ quyết định liệu một sự kiện nào đó sẽ xảy ra sau một số hành động nhất định của người chơi. Các chi tiết ngoài điều này không liên quan. Nó dường như có thể áp dụng cho các tình huống khác, và tôi thấy nó thú vị bởi vì nó dễ dàng để tính toán và tạo ra một cái đuôi dài.

Mỗi bước , trò chơi tạo ra một số ngẫu nhiên thống nhất . Nếu , thì sự kiện được kích hoạt. Sau khi sự kiện xảy ra một lần, trò chơi đặt lại và chạy lại chuỗi. Tôi chỉ quan tâm đến một sự kiện xảy ra cho sự cố này, vì điều đó thể hiện sự phân phối mà trò chơi đang sử dụng. (Ngoài ra, bất kỳ câu hỏi nào liên quan đến nhiều lần xuất hiện có thể được trả lời bằng một mô hình xuất hiện duy nhất.)0 ≤ X < 1 X < p ( n ) n = $n$$0 \leq X < 1$$X < p(n)$$n = 0$

"Bất thường" chính ở đây là tham số xác suất trong phân phối này tăng theo thời gian, hoặc đặt một cách khác, ngưỡng tăng theo thời gian. Trong ví dụ này, nó thay đổi tuyến tính nhưng tôi cho rằng các quy tắc khác có thể áp dụng. Sau bước, hoặc hành động của người dùng,$n$

$$p(n) = kn$$

cho một số hằng . Tại một điểm nhất định , chúng tôi nhận được p (n _ {\ max}) \ geq 1 . Sự kiện chỉ đơn giản là đảm bảo xảy ra ở bước đó.$0 < k < 1$$n_{\max}$$p(n_{\max}) \geq 1$

Tôi đã có thể xác định rằng

$$f(n) = p(n)\left[1 - F(n - 1)\right]$$ và cho PMF và CDF . Tóm lại, xác suất mà sự kiện sẽ xảy ra ở bước thứ bằng với xác suất , ít hơn xác suất xảy ra ở bất kỳ bước nào trước đó. $$F(n) = p(n) + F(n-1)\left[1 - p(n)\right]$$ $f(n)$$F(n)$$n$$p(n)$

Đây là một âm mưu từ người bạn Monte Carlo của chúng tôi, cho vui, với . Trung bình làm việc đến 21 và trung bình đến 22. $k \approx 0.003$

Điều này tương đương với một phương trình khác biệt thứ nhất từ ​​xử lý tín hiệu số, là nền tảng của tôi, và vì vậy tôi thấy điều đó khá mới lạ. Tôi cũng bị thu hút bởi khái niệm rằng có thể thay đổi theo bất kỳ công thức tùy ý nào.$p(n)$

Những câu hỏi của tôi:

1. Tên của phân phối này là gì, nếu nó có một?
2. Có cách nào để rút ra biểu thức cho mà không cần tham chiếu đến không?$f(n)$$F(n)$
3. Có những ví dụ khác về phân phối đệ quy rời rạc như thế này không?

Chỉnh sửa quy trình làm rõ về tạo số ngẫu nhiên.

Theo một nghĩa nào đó, những gì bạn đã làm là đặc trưng cho tất cả các phân phối có giá trị nguyên không âm.

Hãy tạm gác lại mô tả về quá trình ngẫu nhiên và tập trung vào các câu hỏi trong câu hỏi.

Nếu , thì chắc chắn . Nếu chúng ta viết lại đệ quy thứ hai này theo hàm sinh tồn (trong đó có phân phối ), chúng ta sẽ có một cái gì đó rất gợi ý và dễ xử lý. Rõ ràng, và do đó Do đó, miễn là chuỗi của chúng tôi nhận các giá trị trong và không hội tụ quá nhanh về 0, thì chúng tôi sẽ có được một hàm tồn tại hợp lệ (nghĩa là giảm đơn điệu về 0 dưới dạng ).$f_n = p_n (1 - F_{n-1})$$F_n = p_n + (1-p_n) F_{n-1}$ $S_n = 1 - F_n = \mathbb P(T > n)$$T$$F$

$$S_n = 1 - F_n = (1-p_n) S_{n-1} \>,$$ $$S_n = \prod_{k=0}^n (1-p_k) \> .$$ $(p_n)$$[0,1]$$n \to \infty$

Cụ thể hơn,

Mệnh đề : Một chuỗi lấy các giá trị trong xác định phân phối trên các số nguyên không âm khi và chỉ khi và tất cả các bản phân phối như vậy có một chuỗi tương ứng (mặc dù nó có thể không phải là duy nhất).$(p_n)$$[0,1]$

$$-\sum_{n=0}^\infty \log(1-p_n) = \infty \>,$$

Do đó, đệ quy được viết trong câu hỏi là hoàn toàn tổng quát : Bất kỳ phân phối giá trị nguyên không âm nào cũng có một chuỗi tương ứng lấy các giá trị là .$(p_n)$$[0,1]$

Tuy nhiên, điều ngược lại là không đúng sự thật; nghĩa là, có các chuỗi với các giá trị trong không tương ứng với bất kỳ phân phối hợp lệ nào. (Cụ thể, hãy xem xét cho tất cả và cho )$(p_n)$$[0,1]$$0 < p_n < 1$$n \leq N$$p_n = 0$$n > N$

Nhưng xin chờ chút nữa!

Chúng tôi đã gợi ý về mối liên hệ với phân tích sinh tồn và đáng để khám phá điều này sâu hơn một chút. Trong phân tích sinh tồn cổ điển với phân phối hoàn toàn liên tục và mật độ tương ứng , hàm nguy hiểm được xác định là $F$$f$

$$h(t) = \frac{f(t)}{S(t)} \>.$$

Các nguy cơ tích lũy là sau đó và một phân tích đơn giản của các dẫn xuất cho thấy Từ đó, chúng ta có thể đưa ra một đặc điểm của hàm nguy hiểm có thể chấp nhận được: Đó là bất kỳ hàm có thể đo lường nào sao cho cho tất cả và như .$\Lambda(t) = \int_0^t h(s) \,\mathrm d s$

$$S(t) = \exp(-\Lambda(t)) = \exp\Big(-\int_0^t h(s) \,\mathrm d s\Big)\>.$$ $h$$h(t) \geq 0$$t$$\int_0^t h(s) \,\mathrm d s \uparrow \infty$$t \to \infty$

Chúng ta có một đệ quy tương tự cho hàm sinh tồn với hàm trên bằng cách nhận thấy rằng với$t > t_0$

$$S(t) = e^{-\int_{t_0}^t h(s) \,\mathrm d s} S(t_0) \>.$$

Đặc biệt quan sát rằng chúng ta có thể chọn là hằng số từng phần với mỗi phần có chiều rộng 1 và sao cho tích phân hội tụ đến vô cùng. Điều này sẽ mang lại một hàm sống phù hợp với bất kỳ số nguyên không âm rời rạc mong muốn nào có giá trị ở mỗi số nguyên dương.$h(t)$$S(t)$

Kết nối trở lại trường hợp riêng biệt

Để khớp với một riêng biệt mong muốn ở mỗi số nguyên, chúng ta nên chọn một hàm nguy hiểm là hằng số piecewise sao cho trên . Điều này cung cấp bằng chứng thứ hai về điều kiện cần thiết cho chuỗi để xác định phân phối hợp lệ.$S(n)$

$$h(t) = h_n = -\log(1-p_n)\>,$$ $(n-1,n]$$(p_n)$

Lưu ý rằng, đối với nhỏ , cung cấp kết nối heuristic giữa chức năng nguy hiểm của phân phối liên tục và phân phối rời rạc với chức năng sống sót phù hợp trên số nguyên.$p_n$$-\log(1-p_n) \approx p_n = f_n / S_{n-1}$

Phần tái bút : Như một ghi chú cuối cùng, ví dụ trong câu hỏi không thỏa mãn các điều kiện cần thiết mà không có sửa đổi phù hợp với tại và đặt cho tất cả .$p_n = k n$$f_n$$n = \lceil k^{-1} \rceil$$f_n = 0$$n > \lceil k^{-1} \rceil$

Trong trường hợp , chúng ta có một số thuộc tính đã biết. Chúng ta có thể giải quyết mối quan hệ tái phát$p(n) = p < 1$

$$F(n) = p + F(n-1)(1-p); \; F(0) = p$$

có giải pháp

$$F(n) = P(N \le n) = 1- (1-p)^{n+1}$$ là phân phối hình học . Nó được nghiên cứu tốt.

Trường hợp tổng quát hơn của có thể không được tính ở dạng đóng và do đó có khả năng không có phân phối đã biết.$p(n)$

Các trường hợp khác:

1. $p(n) = \frac{p}{n}; \; p<1; \;F(0) = p$ có giải pháp mà không phải là một phân phối thường được biết đến. $$F(n) = 1 - \frac{(1-p)\Gamma( n + 1 -p)}{\Gamma( 1-p)\Gamma(n+1)}$$
2. Xác định (được gọi là hàm sống sót trong các số liệu thống kê), mối quan hệ lặp lại ở trên giảm xuống dạng đơn giản hơn: $S(n) = 1-F(n)$ $$S(n) =\left(1 - p(n) \right) S(n-1)$$
3. Từ ví dụ của bạn, có vẻ như bạn muốn một hàm tăng theo . Sự lựa chọn của bạn không tuyệt vời về mặt phân tích vì sự phá vỡ ở . Các nhà toán học và thống kê thích những điều trơn tru . Vì vậy, tôi đề xuất mà và hội tụ đến 1. Giải quyết mối quan hệ lặp lại với , có dạng phân tích tốt: Xét . Một thực tế thống kê đã biết là $p(n)$$n$$p(n) = kn$$p>1$ $$p(n) = 1 - \frac{(1-p)}{n+1} \; p<1$$ $p(0) = p$$p(n)$ $$F(n) = 1 - \frac{ (1-p)^{n+1} }{ n! }$$ $S(n) = 1 - F(n) = \frac{ (1-p)^{n+1} }{ n! }$ $$\sum_{i=0}^{\infty} S(i) = E[N]$$ trong đó, nếu bạn nhớ một số phép tính, trông rất giống chuỗi Taylor theo cấp số nhân, do đó, $$E[N] = (1-p)e^{(1-p) }$$