Đỉnh cao đỉnh cao của một hàm mật độ xác suất lệch

11

Tôi muốn mô tả "đỉnh" và đuôi "độ nặng" của một số hàm mật độ xác suất sai lệch.

Các tính năng tôi muốn mô tả, liệu chúng có được gọi là "kurtosis" không? Tôi chỉ thấy từ "kurtosis" được sử dụng để phân phối đối xứng?

— người dùng1375871
nguồn

15

Thật vậy, các biện pháp kurtosis thường được áp dụng cho các phân phối đối xứng. Bạn cũng có thể tính toán nó cho những cái bị lệch nhưng cách hiểu thay đổi vì giá trị này thay đổi khi sự bất cân xứng được đưa ra. Trên thực tế, hai khái niệm này rất khó tách rời. Gần đây, một biện pháp sai lệch về bất ổn đã được đề xuất trong bài báo này .

Kurtosis cao có liên quan đến đỉnh điểm và với đuôi nặng (nó cũng được đặc trưng là "thiếu vai"). Một trong những tập của Kendall và Stuart thảo luận về những vấn đề này ở một thời gian dài. Nhưng những giải thích như vậy, như bạn lưu ý, thường được đưa ra trong tình huống gần như đối xứng. Trong các trường hợp không đối xứng, khoảnh khắc thứ 4 được tiêu chuẩn hóa thường có mối tương quan cao với bình phương của khoảnh khắc thứ ba được tiêu chuẩn hóa, do đó, chúng chủ yếu đo nhiều loại tương tự.

— Glen_b -Reinstate Monica

Thật vậy, theo cách đặc biệt mà tôi đã diễn đạt nó trong nhận xét trước đó của tôi, nó thậm chí đúng với các phân phối đối xứng - bình phương của khoảnh khắc thứ ba được chuẩn hóa (độ lệch bình phương) có tương quan cao với khoảnh khắc thứ tư được chuẩn hóa mẫu ('kurtosis'), thậm chí nói bình thường.

— Glen_b -Reinstate Monica

3

Với phương sai được định nghĩa là khoảnh khắc thứ hai , độ lệch được xác định là khoảnh khắc thứ ba và kurtosis được định nghĩa là khoảnh khắc thứ tư , có thể mô tả các thuộc tính của a phạm vi rộng của các phân phối đối xứng và không đối xứng từ dữ liệu. $\mu_{2}$ $\mu_{3}$ $\mu_{4}$

Kỹ thuật này ban đầu được mô tả bởi Karl Pearson vào năm 1895 cho cái gọi là Phân phối Pearson I đến VII. Điều này đã được mở rộng bởi Egon S Pearson (không chắc chắn về ngày tháng) như được xuất bản trên Hahn và Shapiro vào năm 1966 với một loạt các phân phối đối xứng, không đối xứng và đuôi nặng bao gồm Đồng phục, Bình thường, Sinh viên, Lognatural, Exponential, Gamma, Beta, Beta J và Beta U. Từ biểu đồ của p. 197 của Hahn và Shapiro, và có thể được sử dụng để thiết lập các mô tả cho độ lệch và kurtosis như: $B_{1}$ $B_{2}$

$\mu_{3} = \sqrt {B_{1}\ \mu_{2}^{3}}$
$\mu_{4} = B_{2}\ \mu_{2}^{2}$

Nếu bạn chỉ muốn các mô tả tương đối đơn giản thì bằng cách áp dụng hằng số , độ lệch là và kurtosis là . $\mu_{2} = 1$ $\sqrt {B_{1}}$ $B_{2}$

Chúng tôi đã cố gắng tóm tắt biểu đồ này ở đây để nó có thể được lập trình, nhưng tốt hơn là xem lại nó trong Hahn và Shapiro (trang 42-49,122-132,197). Theo một nghĩa nào đó, chúng tôi đang đề xuất một chút kỹ thuật đảo ngược của biểu đồ Pearson, nhưng đây có thể là một cách để định lượng những gì bạn đang tìm kiếm.

— AsymLabs
nguồn

3

Vấn đề chính ở đây là, "đỉnh cao" là gì? Có phải độ cong ở đỉnh (đạo hàm thứ 2?) Nó có yêu cầu tiêu chuẩn hóa trước không? (Bạn sẽ nghĩ như vậy, nhưng có một dòng văn học bắt đầu với Proschan, Ann. Math. Statist. Tập 36, Số 6 (1965), 1703-1706, định nghĩa đỉnh cao theo cách mà bình thường với phương sai nhỏ hơn là nhiều hơn " đạt đỉnh "). Hay đó là nồng độ xác suất trong độ lệch chuẩn của giá trị trung bình, như ẩn trong Balanda và Macgillivray (Thống kê Hoa Kỳ, 1988, Tập 42, 111-119)? Một khi bạn giải quyết một định nghĩa, thì nó sẽ không quan trọng để áp dụng nó. Nhưng tôi sẽ hỏi, "tại sao bạn quan tâm?" Tuy nhiên, "đỉnh cao" có liên quan gì?

BTW, kurtosis của Pearson chỉ đo các đuôi, và không đo bất kỳ định nghĩa "đỉnh cao" nào được đề cập ở trên. Bạn có thể thay đổi dữ liệu hoặc phân phối trong độ lệch chuẩn của trung bình bao nhiêu tùy ý (giữ ràng buộc trung bình = 0 và phương sai = 1), nhưng độ nhiễu chỉ có thể thay đổi trong phạm vi tối đa 0,25 (thường là ít hơn nhiều). Vì vậy, bạn có thể loại trừ việc sử dụng kurtosis để đo mức cao nhất cho bất kỳ phân phối nào, mặc dù kurtosis thực sự là thước đo cho bất kỳ phân phối nào, bất kể phân phối là đối xứng, không đối xứng, rời rạc, liên tục, rời rạc / liên tục hoặc theo kinh nghiệm. Kurtosis đo đuôi cho tất cả các bản phân phối, và hầu như không có gì về đỉnh (tuy nhiên được xác định).

— Peter Westfall
nguồn

1

Một cách tiếp cận rất thực tế có thể là tính tỷ lệ của hàm tồn tại của phân phối so với bình thường, cho thấy nó lớn hơn nhiều. Một cách tiếp cận khác có thể là tính tỷ lệ phần trăm của phân phối theo sở thích và chia nó cho một giá trị lượng tử thông thường, , . $\Pr\left(\tilde X \gt 1- \alpha \right)$ $w_1=\frac{\tilde{x_{99}}-\tilde{x_{50}}}{\tilde{x_{75}}-\tilde{x_{50}}}$ $\tilde x$ $w_2=\frac{\tilde{\Phi_{99}}-\tilde{\Phi_{50}}}{\tilde{\Phi_{75}}-\tilde{\Phi_{50}}}$ $\tau=\frac{w_1}{w_2}$

— Giorgio Speesato
nguồn

0

Tôi không chắc chắn tôi có được sự hiểu biết của bạn về đỉnh cao và nặng nề. Kurtosis có nghĩa là "Dư thừa" trong tiếng Đức, vì vậy nó mô tả "đầu" hoặc "đỉnh" của phân phối, mô tả xem nó rất rộng hay rất hẹp. Wikipedia nói rằng "đỉnh điểm" thực sự được mô tả bởi "kurtosis", trong khi đỉnh cao không xuất hiện để trở thành một từ thực sự và bạn nên sử dụng thuật ngữ "Kurtosis".

Vì vậy, tôi nghĩ rằng bạn có thể đã nhận được mọi thứ đúng, đầu là Kurtosis, "độ nặng" của đuôi có thể là Skewness ":

Đây là cách bạn tìm thấy nó:

a_{3} = \frac{Σ_{i = 1}^{N} (x_{i} - \bar{x})^{3}}{N * s_{x}^{3}}

$a_3 = \frac{\Sigma^{N}_{i=1}(x_i - \overline x)^3}{N * s^3_x}$

với s là độ lệch chuẩn cho x.

Các giá trị chỉ ra:

Xiên âm:

a_{3} < 0

$a_3 < 0$

Xiên dương:

a_{3} > 0

$a_3 > 0$

Không có a_3

a_{3} = 0

$a_3 = 0$

Bạn có thể nhận được một giá trị cho kurtosis với:

a_{4} = \frac{Σ_{i = 1}^{N} (x_{i} - \bar{x})^{4}}{N * s_{x}^{4}}

$a_4 = \frac{\Sigma^{N}_{i=1}(x_i - \overline x)^4}{N * s^4_x}$

Các giá trị chỉ ra:

Tiểu cầu:

a_{4} < 3

$a_4 < 3$

Leptocurtic:

a_{4} > 3

$a_4 > 3$

Bình thường:

a_{4} = 3.0

$a_4 = 3.0$

Có giúp được gì không?

— Julian Hofmeister
nguồn

3

Tôi sợ câu trả lời này ở dạng hiện tại có thể ít hữu ích hơn do lỗi trong đó. Skewness là một thước đo tiêu chuẩn của sự bất đối xứng . Nó không liên quan chặt chẽ đến độ nặng của đuôi: ví dụ, đuôi có thể rất nặng và độ lệch bằng 0 (ví dụ như trường hợp phân phối đối xứng). Cũng xin lưu ý rằng không thể âm, vì vậy nửa sau của câu trả lời này không có ý nghĩa gì. (Có lẽ bạn nhầm lẫn kurtosis với kurtosis dư thừa ?)

a_{4}

$a_4$

— whuber

1

Cảm ơn bạn đã làm rõ. Thực sự có thể có một số lỗi trong công thức, tôi chỉ sao chép chúng từ các tập lệnh mà họ cung cấp tại uni. Tôi giám sát thực tế rằng a4 không thể âm.

— Julian Hofmeister

1

Tôi đã tra cứu tại sao câu trả lời của tôi sai - đó là một lỗi dịch, tôi xin lỗi vì điều đó. Các slide của tôi đều bằng tiếng Đức, trộn Kurtosis và Excess .

— Julian Hofmeister

@Peter Khi Peter Westfall tiếp tục chỉ ra, nhận xét của bạn không chính xác: "đỉnh cao" (ở bất kỳ chế độ nào), được cho là mơ hồ như là điểm hay chiều cao, hoàn toàn không liên quan gì đến đuôi của bất kỳ phân phối nào, cũng không được đo bởi bất kỳ hữu hạn nào sự kết hợp của những khoảnh khắc (chẳng hạn như kurtosis). Nó có thể được kết nối với độ nặng của đuôi cho một gia đình phân phối, nhưng đó là một vấn đề hoàn toàn khác.

— whuber

-1

Kurtosis chắc chắn có liên quan đến đỉnh của đường cong. Do đó, tôi tin rằng bạn đang thực sự tìm kiếm kurtosis tồn tại dù phân phối có đối xứng hay không. (user10525) chắc chắn đã nói đúng! Tôi hy vọng vấn đề của bạn được giải quyết ngay bây giờ. Hãy chia sẻ kết quả của nó, tất cả các ý kiến đều được chào đón.

— Vani
nguồn

1

Tôi không chắc làm thế nào điều này tạo thành một câu trả lời hữu ích ngoài những gì đã được viết ở đây. Làm thế nào về bạn mở rộng nhiều hơn về kurtosis và đỉnh của đường cong?

— Momo

Muốn cung cấp rõ ràng cắt rõ ràng cho các truy vấn. Cuộc thảo luận dường như khó hiểu @Momo

— Vani