Tìm sự phân phối của một thống kê

Học để kiểm tra. Không thể trả lời câu hỏi này.

Đặt là iid biến ngẫu nhiên. Định nghĩa $X_{1,i},X_{2,i},X_{3,i}, i=1,\ldots,n$ $\mathcal{N}(0,1)$

$W_i = (X_{1,i} + X_{2,i}X_{3,i})/\sqrt{1 + X_{3,i}^2}, i = 1, \ldots, n$ ,

và , $\overline{W}_n = n^{-1}\sum_{i=1}^nW_i$

$S_n^2 = (n-1)^{-1}\sum_{i=1}^n(W_i - \overline{W}_n)^2, n \ge 2.$

Phân phối của , gì? $\overline{W}_n$ $S_n^2$

Làm thế nào để tôi có ý tưởng về phương pháp tốt nhất để sử dụng khi bắt đầu một vấn đề như thế này?

normal-distribution data-transformation

— Taylor
nguồn

Bạn có muốn phân phối cho

cố định hoặc phân phối tiệm cận? Bạn có quan tâm đến các phân phối biên của

và

hoặc phân phối chung của chúng không?

n

$n$

{\bar{W}}_{n}

$\overline W_n$

S_{n}^{2}

$S_n^2$

— Đức hồng y

Xin lỗi vì sự mơ hồ. Giữ

cố định, và tôi chỉ quan tâm đến lợi nhuận của họ. Sau đó, họ hỏi liệu hai số liệu thống kê có độc lập hay không, vì vậy tôi dự đoán một số sử dụng định lý của Basu.

n

$n$

— Taylor

Đó là một mẹo.

Có điều kiện trên ta có bằng $X_{3,i} = x$ $W_i$ Điều này xuất phát từ thực tế là đối vớicố định,đây là một phép biến đổi tuyến tính đơn giản của haibiến phân phốiđộc lậpvà. Khi đó,có phân phối chuẩn. Giá trị trung bình có điều kiện được xem là 0 và phương sai có điều kiện là (theo các giả định độc lập)

\frac{X_{1, Tôi} + X_{2, Tôi} x}{\sqrt{1 + x^{2}}} ~ N (0, 1) .

$\frac{X_{1,i} + X_{2,i}x}{\sqrt{1 + x^2}} \sim \mathcal{N}(0, 1).$

x

$x$

N (0, 1)

$\mathcal{N}(0,1)$

X_{1, i}

$X_{1,i}$

X_{2, i}

$X_{2,i}$

W_{i} ∣ X_{3, i} = x

$W_i \mid X_{3,i} = x$

V (W_{Tôi} | X_{3, Tôi} = = x) = = \frac{V (X_{1, Tôi}) + V (X_{2, Tôi}) x^{2}}{1 + x^{2}} = = \frac{1 + x^{2}}{1 + x^{2}} = = 1.

$V(W_i \mid X_{3,i} = x) = \frac{V(X_{1,i}) + V(X_{2,i})x^2}{1 + x^2} = \frac{1 + x^2}{1 + x^2} = 1.$

$W_i \mid X_{3,i} = x$ $x$ $W_i \sim \mathcal{N}(0,1).$

Phần còn lại theo kết quả chuẩn trên trung bình và phần dư cho các biến ngẫu nhiên bình thường độc lập. Định lý của Basu là không cần thiết cho bất cứ điều gì.

— NRH
nguồn

rất ấn tượng!

— Cam.Davidson.Pilon

({\bar{W}}_{n}, S_{n}^{2})

$(\overline{W}_n,S_n^2)$