Câu hỏi phỏng vấn Amip

25

Tôi đã được hỏi câu hỏi này trong một cuộc phỏng vấn cho một vị trí giao dịch với một công ty thương mại độc quyền. Tôi rất muốn biết câu trả lời cho câu hỏi này và trực giác đằng sau nó.

Câu hỏi về amip: Một quần thể amip bắt đầu bằng 1. Sau 1 khoảng thời gian amip có thể chia thành 1, 2, 3 hoặc 0 (nó có thể chết) với xác suất bằng nhau. Xác suất mà toàn bộ dân số cuối cùng chết là gì?

probability

— AME
nguồn

chúng ta có thể giả sử nó làm từng cái với xác suất không?

1 / 4

$1/4$

— shabbychef

16

từ quan điểm sinh học, cơ hội đó là 1. Môi trường bị ràng buộc thay đổi đến một điểm mà không dân số nào có thể tồn tại, với điều kiện là trong x tỷ năm, mặt trời sẽ nổ tung. Nhưng tôi đoán đó không thực sự là câu trả lời mà anh ta đang tìm kiếm. ;-) Câu hỏi cũng không có ý nghĩa. Một amoebe chỉ có thể chia thành 2 hoặc 0. Đạo đức: thương nhân không nên đặt câu hỏi về sinh học.

— Joris Meys

7

Một câu hỏi như vậy về cuộc phỏng vấn cho một vị trí như vậy? Có lẽ nó là một cái gì đó như Dilbert.com/strips/comic/2003-11-27 ?

1

Đây là một câu hỏi dễ thương như Mike đề cập. Trực giác ở đây là xác suất sống sót / tuyệt chủng cuối cùng là giống nhau giữa hai thế hệ. Một phiên bản sáng tạo hơn có thể được nghĩ đến khi xác suất sống sót thay đổi theo chức năng của số lượng amip hiện tại. Tôi đã thêm nó vào blog trang web của tôi.

— bông cải xanh

1

1) Amip sinh sản bằng cách giảm thiểu nhị phân. 2) Amip không sinh sản trong các số liệu phân bào bất thường, ví dụ 3 lần, nếu nhìn thấy nó sẽ gây chết người. 4) Đặt câu hỏi trong một cuộc phỏng vấn gợi ra sự thiên vị xác nhận thường được coi là chất lượng thấp. Lời khuyên; bạn có thể không muốn công việc đó

— Carl

36

Vấn đề dễ thương. Đây là loại công cụ mà các nhà xác suất làm trong đầu để giải trí.

Kỹ thuật này là giả định rằng có như vậy một khả năng tuyệt chủng, gọi nó là . Sau đó, nhìn vào cây quyết định một chiều cho những kết quả có thể xảy ra mà chúng ta thấy - sử dụng Luật xác suất tổng thể - rằng $P$

$P=\frac{1}{4} + \frac{1}{4}P + \frac{1}{4}P^2 + \frac{1}{4}P^3$

giả sử rằng, trong trường hợp 2 hoặc 3 "con", xác suất tuyệt chủng của chúng là IID. Phương trình này có hai gốc khả thi, và . Một người thông minh hơn tôi có thể giải thích được tại sao số không hợp lý. $1$ $\sqrt{2}-1$ $1$

Công việc phải trở nên chặt chẽ - loại người phỏng vấn nào mong bạn giải quyết các phương trình bậc ba trong đầu?

— Mike Anderson
nguồn

3

Lý do 1 không phải là một gốc dễ dàng được nhìn thấy bằng cách xem xét số lượng Amoeba dự kiến sau bước, gọi nó là . Người ta có thể dễ dàng chỉ ra rằng . Vì xác suất của mỗi kết quả là chúng tôi có và do đó phát triển mà không bị ràng buộc trong . Điều này rõ ràng không gibe với .

k

$k$

E_{k}

$E_k$

E_{k} = E_{1}^{k}

$E_k = E_1^k$

1 / 4,

$1/4,$

E_{1} = 3 / 2

$E_1 = 3/2$

E_{k}

$E_k$

k

$k$

P = 1

$P = 1$

— shabbychef

9

@shabbychef Nó không quá rõ ràng đối với tôi. Bạn có thể có kỳ vọng tăng theo cấp số nhân (hoặc thậm chí nhanh hơn) trong khi xác suất chết vẫn tiếp cận sự thống nhất. (Ví dụ, hãy xem xét một quá trình ngẫu nhiên trong đó dân số tăng gấp bốn lần trong mỗi thế hệ hoặc chết hoàn toàn, mỗi người có cơ hội như nhau. Kỳ vọng ở thế hệ n là 2 ^ n nhưng xác suất tuyệt chủng là 1.) Do đó không có mâu thuẫn; đối số của bạn cần một cái gì đó bổ sung.

— whuber

1

@shabbychef - cảm ơn bạn đã chỉnh sửa. Tôi không nhận ra chúng ta có thể sử dụng TeX nhúng cho toán học! @whuber - Tuyên bố của shabbychef chỉ là một biến thể trong tuyên bố của tôi về xác suất tuyệt chủng, chỉ cần thêm kỳ vọng thay vì nhân xác suất. Làm tốt lắm, shab.

E_{k} = E_{1}^{k}

$E_k = E_1^k$

— Mike Anderson

1

Điều đó rõ ràng, Mike, nhưng quan điểm của bạn là gì? Không phải chúng ta đang nói về cách loại trừ 1 như một giải pháp sao? Nhân tiện, rõ ràng (bằng cách kiểm tra và / hoặc bằng cách hiểu vấn đề) rằng 1 sẽ là một giải pháp. Điều này làm giảm nó thành một phương trình bậc hai mà người ta có thể dễ dàng giải quyết tại chỗ. Tuy nhiên, đó thường không phải là điểm của một câu hỏi phỏng vấn. Người hỏi có lẽ đang thăm dò để xem những gì người nộp đơn chủ động biết về các quá trình ngẫu nhiên, chuyển động Brown, phép tính Ito, v.v., và cách họ giải quyết vấn đề, chứ không phải họ có thể giải quyết câu hỏi cụ thể này hay không.

— whuber

3

@shabbychef: Một cách để loại trừ P = 1 là nghiên cứu sự phát triển của hàm tạo xác suất. Pgf thu được bằng cách bắt đầu bằng t (đại diện cho dân số ban đầu là 1) và lặp lại thay thế t bằng (1 + t + t ^ 2 + t ^ 3) / 4. Đối với bất kỳ giá trị bắt đầu nào của t nhỏ hơn 1, đồ họa dễ dàng hiển thị các lần lặp hội tụ thành Sqrt (2) -1. Cụ thể, pgf đang tránh xa 1, cho thấy nó không thể hội tụ đến 1 ở mọi nơi, điều này thể hiện sự tuyệt chủng hoàn toàn. Đây là lý do tại sao "số 1 không hợp lý."

— whuber

21

Một số mặt sau của tính toán phong bì (một cách ngớ ngẩn - tôi có một phong bì nằm xung quanh bàn của tôi) cho tôi xác suất 42/111 (38%) không bao giờ đạt được dân số 3.

Tôi đã chạy một mô phỏng Python nhanh chóng, xem có bao nhiêu quần thể đã chết sau 20 thế hệ (tại thời điểm đó chúng thường chết hoặc nằm trong hàng ngàn) và đã có 4164 người chết trong số 10000 lần chạy.

Vì vậy, câu trả lời là 42%.

— Emile
nguồn

9

\sqrt{2} - 1

$\sqrt{2}-1$ là 0,4142, do đó, nó phù hợp với kết quả phân tích của Mike. Và +1, vì tôi thích mô phỏng ;-)

2

Cũng +1 vì tôi thích mô phỏng. Đó sẽ là câu trả lời của tôi;).

— Fomite

7

Âm thanh này liên quan đến quá trình Galton Watson , ban đầu được xây dựng để nghiên cứu sự sống còn của họ. Xác suất phụ thuộc vào số lượng amip phụ dự kiến sau một lần phân chia. Trong trường hợp này, con số dự kiến là lớn hơn giá trị tới hạn của , và do đó xác suất tuyệt chủng nhỏ hơn . $3/2,$ $1$ $1$

Bằng cách xem xét số lượng amip dự kiến sau khi phân chia , người ta có thể dễ dàng chỉ ra rằng nếu số lượng dự kiến sau một bộ phận nhỏ hơn , xác suất tuyệt chủng là . Nửa còn lại của vấn đề, tôi không chắc lắm. $k$ $1$ $1$

— shabbychef
nguồn

6

Giống như câu trả lời từ Mike Anderson nói rằng bạn có thể đánh đồng xác suất để một dòng amip bị tuyệt chủng với tổng số xác suất của dòng dõi của những đứa trẻ bị tuyệt chủng.

p_{p a r e n t} = \frac{1}{4} p_{c h i l d}^{3} + \frac{1}{4} p_{c h i l d}^{2} + \frac{1}{4} p_{c h i l d} + \frac{1}{4}

$p_{parent} = \frac{1}{4} p_{child}^3 + \frac{1}{4} p_{child}^2 + \frac{1}{4} p_{child} + \frac{1}{4}$

Sau đó, khi bạn đặt bằng nhau xác suất cha mẹ và con cái cho dòng dõi của chúng bị tuyệt chủng, thì bạn có được phương trình:

p = \frac{1}{4} p^{3} + \frac{1}{4} p^{2} + \frac{1}{4} p + \frac{1}{4}

$p = \frac{1}{4} p^3 + \frac{1}{4} p^2 + \frac{1}{4} p + \frac{1}{4}$

có gốc , và . $p=1$ $p=\sqrt{2}-1$ $p=-\sqrt{2}-1$

Câu hỏi còn lại là tại sao câu trả lời phải là chứ không phải . Ví dụ, câu hỏi này được hỏi trong Câu hỏi phỏng vấn Amoeba trùng lặp này : Là P (N = 0) 1 hay 1/2? . Trong câu trả lời từ shabbychef , người ta có thể giải thích rằng người ta có thể nhìn vào, , giá trị kỳ vọng của kích thước của dân số sau độ lệch thứ , và xem liệu nó có bị thu hẹp hoặc tăng lên không. $p=\sqrt{2}-1$ $p=1$ $E_k$ $k$

Đối với tôi có một số sự gián tiếp trong tranh luận đằng sau đó và cảm giác như nó không hoàn toàn được chứng minh.

Ví dụ trong một trong những ý kiến Whuber ghi chú rằng bạn có thể có một giá trị kỳ vọng ngày càng tăng và cũng có xác suất tuyệt chủng trong -thứ cách tiếp cận bước 1. Ví dụ bạn có thể giới thiệu một sự kiện thảm khốc mà lau ra toàn bộ dân amip và nó xảy ra với một số xác suất trong mỗi bước. Sau đó, dòng amip gần như chắc chắn sẽ chết. Tuy nhiên, kỳ vọng về quy mô dân số ở bước đang tăng lên. $E_k$ $k$ $x$ $k$
Hơn nữa, những chiếc lá câu trả lời mở những gì chúng ta phải nghĩ đến tình hình khi (ví dụ như khi một chia amip hay không chia tay với bình đẳng, 50%, xác suất, sau đó dòng dõi của một amip trở nên tuyệt chủng với xác suất gần như kỉ niệm dù ) $E_k = 1$ $1$ $E_k= 1$

Đạo hàm thay thế.

Lưu ý rằng giải pháp có thể là một sự thật trống rỗng . Chúng tôi đánh đồng xác suất để dòng dõi của cha mẹ bị tuyệt chủng với dòng dõi của con bị tuyệt chủng. $p=1$

Nếu 'xác suất để dòng dõi của con bị tuyệt chủng bằng '. Sau đó, 'xác suất để dòng dõi của cha mẹ bị tuyệt chủng bằng '. $1$
$1$

Nhưng điều này không có nghĩa là đúng là 'xác suất để dòng dõi của con bị tuyệt chủng là '. Điều này đặc biệt rõ ràng khi luôn luôn có số lượng con không khác nhau. Ví dụ, hãy tưởng tượng phương trình: $1$

p = = \frac{1}{3} p^{3} + \frac{1}{3} p^{2} + \frac{1}{3} p

$p = \frac{1}{3} p^3 + \frac{1}{3} p^2 + \frac{1}{3} p$

Chúng ta có thể tiến tới một giải pháp theo một cách hơi khác không?

Chúng ta hãy gọi là xác suất để dòng dõi bị tuyệt chủng trước khi phân chia thứ . Sau đó chúng tôi có: $p_k$ $k$

p_{1} = = \frac{1}{4}

$p_1 = \frac{1}{4}$

và mối quan hệ tái phát

p_{k + 1} = = \frac{1}{4} p_{k}^{3} + \frac{1}{4} p_{k}^{2} + \frac{1}{4} p_{k} + p_{1}

$p_{k+1} = \frac{1}{4} p_{k}^3 + \frac{1}{4} p_k^2 + \frac{1}{4} p_k + p_1$

hoặc là

δ_{k} = = p_{k + 1} - p_{k} = = \frac{1}{4} p_{k}^{3} + \frac{1}{4} p_{k}^{2} - \frac{3}{4} p_{k} + p_{1} = = f (p_{k})

$\delta_k = p_{k+1} - p_k = \frac{1}{4} p_{k}^3 + \frac{1}{4} p_k^2 - \frac{3}{4} p_k + p_1 = f(p_k)$

Vì vậy, bất cứ nơi nào xác suất bị tuyệt chủng trước khi độ lệch thứ sẽ tăng lên khi tăng . $f(p_k)>1$ $k$ $k$

Hội tụ đến gốc và mối quan hệ với giá trị kỳ vọng

Nếu bước nhỏ hơn khoảng cách đến gốc thì mức tăng này của khi tăng sẽ không vượt quá điểm mà . $f(p_k) < p_{\infty}-p_k$ $p_k$ $k$ $f(p_\infty) = 0$

Bạn có thể xác minh rằng điều này (không vượt quá gốc) luôn luôn là trường hợp khi độ dốc / đạo hàm của ở trên hoặc bằng , và điều này luôn luôn là trường hợp của và đa thức như với . $f(p_k)$ $-1$ $0\leq p \leq 1$ $f(p) = -p + \sum_{k=0}^{\infty} a_k p^k$ $a_k \geq 0$

Với đạo hàm nằm trong các điểm cực trị bằng và bạn có thể thấy rằng phải có tối thiểu giữa và nếu (và liên quan phải có gốc từ đến , do đó không có sự tuyệt chủng nhất định). Và ngược lại khi sẽ không có gốc giữa và , do đó, sự tuyệt chủng nhất định (trừ trường hợp khi xảy ra khi ).

f^{'} (p) = = - 1 + Σ_{k = = 1}^{\infty} {một}_{k} k p^{k - 1}

$f^\prime(p) = -1 + \sum_{k=1}^{\infty} a_k k p^{k-1}$

f^{'} (0) = - 1

$f^\prime(0) = -1$

f^{'} (1) = - 1 + E_{1}

$f^\prime(1) = -1 + E_1$

p = 0

$p=0$

p = 1

$p=1$

E_{1} > 1

$E_1>1$

0

$0$

1

$1$

E_{1} \leq 1

$E_1 \leq 1$

0

$0$

1

$1$

f (p) = 0

$f(p) = 0$

a_{1} = 1

$a_1 = 1$

— Sextus Empiricus
nguồn