Tại sao thử nghiệm của McNemar sử dụng chi bình phương mà không phải phân phối bình thường?

Tôi chỉ nhận thấy cách thử nghiệm của McNemar không chính xác sử dụng phân phối tiệm cận chi vuông. Nhưng vì thử nghiệm chính xác (đối với hai trường hợp bảng) dựa vào phân phối nhị thức, tại sao không phổ biến để đề xuất xấp xỉ bình thường cho phân phối nhị thức?

Cảm ơn.

— Tal Galili
nguồn

Câu trả lời:

Một câu trả lời gần gũi:

Xem xét kỹ hơn về công thức cho bài kiểm tra McNemar, được đưa ra bảng

      pos | neg
----|-----|-----
pos |  a  |  b
----|-----|-----
neg |  c  |  d

Thống kê McNemar Mđược tính như sau:

M = \frac{(b - c)^{2}}{b + c}

$M = {(b-c)^2 \over b+c}$

$\chi^2$ bcb-cb+cM $\chi^2$

EDIT: Như onstop chỉ định đúng, xấp xỉ bình thường trong thực tế là hoàn toàn tương đương. Điều đó khá tầm thường khi đưa ra lập luận bằng cách sử dụng xấp xỉ b-cbằng phân phối chuẩn.

b $Binom(b+c,0.5)$ $N(0.5\times(b+c),0.5^2\times(b+c)$

Hoặc, tương đương:

\frac{b - (\frac{b + c}{2})}{\frac{\sqrt{b + c}}{2}} \sim N (0, 1)

$\frac{b-(\frac{b+c}{2})}{\frac{\sqrt{b+c}}{2}}\sim N(0,1)$

mà đơn giản hóa để

\frac{b - c}{\sqrt{b + c}} \sim N (0, 1)

$\frac{b-c}{\sqrt{b+c}}\sim N(0,1)$

$M \sim \chi^2_1$

$\chi^2$

— Joris Meys
nguồn

Đúng rồi. Kết nối có lẽ có thể được nhìn thấy rõ hơn bằng cách xem xét Sqrt (M) = (bc) / Sqrt (b + c). Xấp xỉ phương sai của b là b và phương sai của c là c (như thường lệ với dữ liệu được tính), chúng ta thấy Sqrt (M) trông giống như một phương sai bình thường (bc) chia cho độ lệch chuẩn của nó: nói cách khác, nó trông giống như một phương sai bình thường tiêu chuẩn . Trên thực tế, chúng ta có thể tiến hành một thử nghiệm tương đương bằng cách đưa Sqrt (M) vào một bảng phân phối chuẩn thông thường. Bình phương nó có hiệu quả làm cho bài kiểm tra đối xứng hai đuôi. Rõ ràng điều này bị phá vỡ nếu b hoặc c nhỏ.

— whuber

Cảm ơn bạn đã trả lời trực quan Joris. Tuy nhiên, tại sao nó lại phổ biến hơn khi sử dụng phép tính gần đúng này thay vì sử dụng phép tính gần đúng bình thường để kiểm tra nhị thức chính xác của McNemar?

— Tal Galili

@Tal: Nó giống nhau. Xem câu trả lời nonstops và chỉnh sửa của tôi.

— Joris Meys

Thật ra - câu hỏi cuối cùng. Vì vậy, nếu cả hai đều giống hệt nhau (và tôi nghĩ rằng bạn cũng có thể cần một "giá trị tuyệt đối" xung quanh bc), thì tại sao mọi người lại đi phân phối chi thay vì ở với người bình thường? Lợi thế ở đâu?

— Tal Galili

@Tal: Bạn biết R. vẽ chi2 với một mức độ tự do, bạn sẽ thấy.

— Joris Meys

Không phải hai cách tiếp cận đến cùng một điều? Phân phối chi bình phương có liên quan có một mức độ tự do, đơn giản là phân phối bình phương của một biến ngẫu nhiên với phân phối chuẩn thông thường. Tôi phải đi qua đại số để kiểm tra, điều mà tôi chưa có thời gian để làm ngay bây giờ, nhưng tôi sẽ ngạc nhiên nếu bạn không kết thúc với cùng một câu trả lời theo cả hai cách.

— trên đỉnh
nguồn

xem câu trả lời của tôi để biết thêm chi tiết

— Joris Meys

Hi onestop - Vì cả hai đều không có triệu chứng, nên đối với N nhỏ hơn, chúng có thể mang lại kết quả hơi khác nhau. Trong trường hợp như vậy, tôi tự hỏi liệu sự lựa chọn đi với chi bình phương là bởi vì nó tốt hơn so với xấp xỉ bình thường, hoặc vì lý do lịch sử (hoặc có thể, như bạn đề xuất - chúng luôn mang lại kết quả giống hệt nhau)

— Tal Galili

@Tal: cho N nhỏ hơn, cả hai đều không giữ. Và như thể hiện trong bản chỉnh sửa của tôi, chúng giống hệt nhau.

— Joris Meys