Làm thế nào để tìm phân phối biên từ phân phối chung với sự phụ thuộc đa biến?

Một trong những vấn đề trong sách giáo khoa của tôi được đặt ra như sau. Một vectơ liên tục ngẫu nhiên hai chiều có hàm mật độ sau:

f_{X, Y} (x, y) = {\begin{cases} 15 x y^{2} & if 0 < x < 1 and 0 < y < x \\ 0 & otherwise \end{cases}

$f_{X,Y}(x,y)= \begin{cases} 15xy^2 & \text{if 0 < x < 1 and 0 < y < x}\\ 0 & \text{otherwise}\\ \end{cases}$

Chứng minh rằng các chức năng mật độ biên và là: $f_X$ $f_Y$

f_{X} (x) = {\begin{cases} 5 x^{4} & if 0 < x < 1 \\ 0 & otherwise \end{cases}

$f_{X}(x)= \begin{cases} 5x^4 & \text{if 0 < x < 1}\\ 0 & \text{otherwise}\\ \end{cases}$

f_{Y} (y) = {\begin{cases} \frac{15}{2} y^{2} (1 - y^{2}) & if 0 < y < 1 \\ 0 & otherwise \end{cases}

$f_{Y}(y)= \begin{cases} \scriptsize{\frac{15}{2}}\normalsize y^2(1-y^2) & \text{if 0 < y < 1}\\ 0 & \text{otherwise}\\ \end{cases}$

Tôi hiểu cách tính hàm mật độ , bằng cách tích hợp từ đến đối với . Tuy nhiên tôi hoàn toàn bị mất trên , đến từ đâu? Nếu tôi tích hợp từ đến đối với thì tôi chỉ nhận được và tại sao phạm vi ? $f_X$ $f_{X,Y}$ $0$ $x$ $y$ $f_Y$ $(1-y^2)$ $0$ $1$ $x$ $\scriptsize{\frac{15}{2}}\normalsize y^2$ $0 < y < 1$

Tôi đã vẽ biểu đồ hỗ trợ cho , tất cả các giá trị trong đó có màu xanh lam: $X,Y$ $f_{X,Y}>0$

Hỗ trợ cho $ X, Y $

— soren.qvist
nguồn

Nó có thể giúp bạn vẽ một bức tranh về sự hỗ trợ của (là tập hợp của mà ). Điều đó sẽ trả lời ngay một số câu hỏi của bạn.

(X, Y)

$(X,Y)$

(x, y)

$(x,y)$

f (x, y) \neq 0

$f(x,y)\ne 0$

— whuber

@whuber Được rồi vì vậy tôi đã vẽ biểu đồ hỗ trợ và tôi nghĩ tôi hiểu tại sao nó 0 <y <1, bởi vì x chỉ được định nghĩa trong 0 <x <1 và vì 0 <y <x nên chúng tôi tự nhiên chỉ có y định nghĩa từ 0 đến 1, đúng không? Nhưng tôi vẫn không hiểu phần (1-y ^ 2).

— soren.qvist

Gợi ý: Mật độ biên của là tích phân của , với giá trị cố định của , , chỉ khác không đối với những thỏa mãn . Đó là, và đó là nơi một phần đến từ.

f_{Y} (y)

$f_Y(y)$

f_{X, Y} (x, y)

$f_{X,Y}(x,y)$

y

$y$

0 < y < 1

$0 < y < 1$

x

$x$

y < x < 1

$y < x < 1$

f_{Y} (y) = \int_{- \infty}^{\infty} f_{X, Y} (x, y) d x = \int_{y}^{1} 15 x y^{2} d x

$f_Y(y) = \int_{-\infty}^\infty f_{X,Y}(x,y)dx = \int_y^1 15xy^2 dx$

(1 - y^{2})

$(1-y^2)$

— Dilip Sarwate

Cảm ơn vì gợi ý Dilip, tôi sợ rằng tôi không hiểu nó đầy đủ. ".. với giá trị cố định là , , là giá trị khác không chỉ với những thỏa mãn ." Bạn đang đề cập đến khu vực màu xanh trên biểu đồ?

y

$y$

0 < y < 1

$0 < y < 1$

x

$x$

y < x < 1

$y<x<1$

— soren.qvist

@ soren.qvist Có. Tôi đang đề cập đến khu vực màu xanh trên biểu đồ. là không thể thiếu (diện tích dưới đường cong) của một chức năng của trong đó có giá trị nếu là giữa và (khu vực màu xanh) và ngược lại. Lặp lại cho các giá trị cố định khác của và lưu ý rằng mỗi lần giá trị số của hoạt động là cùng một số bằng cách "cắm" giá trị đã chọn của vào biểu thức

f_{Y} (0.4)

$f_Y(0.4)$

x

$x$

(15 (0.4)^{2}) x = 2.4 x

$(15(0.4)^2)x=2.4x$

x

$x$

0.4

$0.4$

1

$1$

0

$0$

y

$y$

f_{Y} (y)

$f_Y(y)$

y

$y$

f_{Y} (y)

$f_Y(y)$ như được đưa ra trong phiếu trả lời của bạn. Sau đó, đến "Hey Ma, tôi nghĩ rằng tôi thấy một mô hình!" Khoảnh khắc và bạn nhận ra rằng bằng tích phân hiển thị.

f_{Y} (y)

$f_Y(y)$

— Dilip Sarwate

Như bạn đã chỉ ra chính xác trong câu hỏi của mình, được tính bằng cách tích hợp mật độ khớp, đối với X. Phần quan trọng ở đây là xác định khu vực mà bạn tích hợp. Bạn đã thể hiện rõ ràng sự hỗ trợ của hàm phân phối chung . Vì vậy, bây giờ, bạn có thể lưu ý rằng phạm vi của trong vùng bóng mờ là từ đến (nghĩa là về mặt đồ họa, bạn có thể hình dung các đường ngang, song song với trục x, đi từ đường chéo đến đường thẳng đứng tại ). $f_{Y}(y)$ $f_{X,Y}(x,y)$ $f_{X,Y}(x,y)$ $X$ $X=y$ $X=1$ $Y=X$ $X=1$

Do đó, giới hạn dưới và trên của tích hợp sẽ là và . Do đó, giải pháp cho vấn đề như sau: $X=y$ $X=1$

f_{Y} (y) = \int_{y}^{1} f_{X, Y} (x, y) d x = \int_{y}^{1} 15 x y^{2} d x = 15 y^{2} \int_{y}^{1} x d x = 15 y^{2} (\frac{1}{2} x^{2} |_{y}^{1}) = \frac{15}{2} y^{2} (1 - y^{2}) .

$f_{Y}(y)= \int_{y}^{1} f_{X,Y}(x,y) dx= \int_{y}^{1} 15xy^{2} dx=15y^{2}\int_{y}^{1} x dx=15y^{2}\left(\frac{1}{2}x^2\Big|_y^1\right)\\=\frac{15}{2}y^2(1-y^2).$

— người dùng3487564
nguồn