Bạn có thường xuyên phải lăn một cái chết 6 mặt để có được mọi số ít nhất một lần không?

Tôi vừa mới chơi một trò chơi với những đứa trẻ của mình mà về cơ bản sôi nổi: bất cứ ai lăn số ít nhất một lần trên một cái chết 6 mặt đều thắng.

Cuối cùng tôi đã thắng, và những người khác đã hoàn thành 1-2 lượt sau đó. Bây giờ tôi đang tự hỏi: kỳ vọng về độ dài của trò chơi là gì?

Tôi biết rằng kỳ vọng về số lượng cuộn cho đến khi bạn đạt được một số cụ thể là .$\sum_{n=1}^\infty n\frac{1}{6}(\frac{5}{6})^{n-1}=6$

Tuy nhiên, tôi có hai câu hỏi:

1. Bao nhiêu lần bạn phải lăn một cái chết sáu mặt cho đến khi bạn nhận được mỗi số ít nhất một lần?
2. Trong số bốn thử nghiệm độc lập (nghĩa là với bốn người chơi), kỳ vọng về số lượng cuộn tối đa cần thiết là bao nhiêu? [lưu ý: đó là tối đa, không phải tối thiểu, bởi vì ở tuổi của họ, nó hoàn thiện hơn là về việc đến đó trước tiên cho con tôi]

Tôi có thể mô phỏng kết quả, nhưng tôi tự hỏi làm thế nào tôi sẽ tính toán nó một cách phân tích.

---

Đây là một mô phỏng Monte Carlo trong Matlab

mx=zeros(1000000,1);
for i=1:1000000,
   %# assume it's never going to take us >100 rolls
   r=randi(6,100,1);
   %# since R2013a, unique returns the first occurrence
   %# for earlier versions, take the minimum of x
   %# and subtract it from the total array length
   [~,x]=unique(r); 
   mx(i,1)=max(x);
end

%# make sure we haven't violated an assumption
assert(numel(x)==6)

%# find the expected value for the coupon collector problem
expectationForOneRun = mean(mx)

%# find the expected number of rolls as a maximum of four independent players
maxExpectationForFourRuns = mean( max( reshape( mx, 4, []), [], 1) )

expectationForOneRun =
   14.7014 (SEM 0.006)

maxExpectationForFourRuns =
   21.4815 (SEM 0.01)

Bởi vì "phương pháp phân tích hoàn toàn" đã được yêu cầu, đây là một giải pháp chính xác. Nó cũng cung cấp một cách tiếp cận khác để giải quyết câu hỏi tại Xác suất để vẽ một quả bóng đen trong một tập hợp các quả bóng đen và trắng với các điều kiện thay thế hỗn hợp .

---

Số lần di chuyển trong trò chơi, , có thể được mô hình thành tổng của sáu lần thực hiện độc lập các biến hình học với xác suất , mỗi trong số chúng thay đổi (vì một biến hình học chỉ tính các cuộn trước một thành công và chúng ta cũng phải tính các cuộn mà các thành công được quan sát). Bằng cách tính toán với phân phối hình học, do đó chúng tôi sẽ có được câu trả lời ít hơn câu trả lời mong muốn và do đó phải chắc chắn thêm câu trả lời vào cuối.$X$$(p)$$p=1, 5/6, 4/6, 3/6, 2/6, 1/6$$1$6 6$6$$6$

Hàm tạo xác suất (pgf) của biến hình học như vậy với tham số là$p$

$$f(z, p) = \frac{p}{1-(1-p)z}.$$

Do đó, pgf cho tổng của sáu biến này là

$$g(z) = \prod_{i=1}^6 f(z, i/6) = 6^{-z-4} \left(-5\ 2^{z+5}+10\ 3^{z+4}-5\ 4^{z+4}+5^{z+4}+5\right).$$

(Sản phẩm có thể được tính ở dạng đóng này bằng cách tách nó thành năm thuật ngữ thông qua các phân số một phần.)

Hàm phân phối tích lũy (CDF) được lấy từ tổng một phần của (dưới dạng chuỗi lũy thừa tính bằng ), tương đương với chuỗi tổng hình học, và được đưa ra bởi$g$$z$

$$F(z) = 6^{-z-4} \left(-(1)\ 1^{z+4} + (5)\ 2^{z+4}-(10)\ 3^{z+4}+(10)\ 4^{z+4}-(5)\ 5^{z+4}+(1)\ 6^{z+4}\right).$$

(Tôi đã viết biểu thức này dưới dạng gợi ý một dẫn xuất thay thế thông qua Nguyên tắc loại trừ bao gồm.)

Từ đó, chúng tôi có được số lần di chuyển dự kiến ​​trong trò chơi (trả lời câu hỏi đầu tiên) là

$$\mathbb{E}(6+X) = 6+\sum_{i=1}^\infty \left(1-F(i)\right) = \frac{147}{10}.$$

CDF của tối đa phiên bản độc lập của là (và về nguyên tắc, chúng tôi có thể trả lời bất kỳ câu hỏi xác suất nào về mức tối đa chúng tôi thích, chẳng hạn như phương sai của nó là gì, tỷ lệ phần trăm thứ 99 của nó là bao nhiêu , v.v.) Với chúng ta có được kỳ vọng về$m$$X$$F(z)^m$$m=4$

$$6+\sum_{i=1}^\infty \left(1-F(i)^4\right) \approx 21.4820363\ldots.$$

(Giá trị là một phần hợp lý, ở dạng rút gọn, có mẫu số 71 chữ số.) Độ lệch chuẩn là Dưới đây là một âm mưu của hàm khối lượng xác suất tối đa cho bốn người chơi (nó đã được thay đổi bởi rồi):$6.77108\ldots.$$6$

Như người ta mong đợi, nó bị lệch một cách tích cực. Chế độ là cuộn. Rất hiếm khi người cuối cùng hoàn thành sẽ mất hơn cuộn (khoảng ).$18$$50$$0.3\%$

$\{0, \dotsc, 6\}$$i$$\frac{i}{6}$$i$$i+1$$\frac{6-i}{6}$

$$\begin{align} \sum_{i=0}^5 \frac{6}{6-i} = 14.7 \end{align}$$

$(6,6,6,6)$$j$$i$$T_i$$i$$j$$p_ip_{ij}$$i$$j$. Bạn có thể khám phá thời gian nhấn và xác suất bằng lập trình động. Không quá khó vì có một trật tự truyền tải để điền vào thời gian và xác suất trúng. Ví dụ: đối với hai die: đầu tiên tính T và p cho (0,0), sau đó cho (1,0), sau đó (1, 1), (2, 0), sau đó (2, 1), v.v.

Trong Python:

import numpy as np
import itertools as it
from tools.decorator import memoized  # A standard memoization decorator

SIDES = 6

@memoized
def get_t_and_p(state):
    if all(s == 0 for s in state):
        return 0, 1.0
    n = len(state)
    choices = [[s - 1, s] if s > 0 else [s]
               for s in state]
    ts = []
    ps = []
    for last_state in it.product(*choices):
        if last_state == state:
            continue
        last_t, last_p = get_t_and_p(tuple(sorted(last_state)))
        if last_p == 0.0:
            continue
        transition_p = 1.0
        stay_p = 1.0
        for ls, s in zip(last_state, state):
            if ls < s:
                transition_p *= (SIDES - ls) / SIDES
            else:
                transition_p *= ls / SIDES
            stay_p *= ls / SIDES
        if transition_p == 0.0:
            continue
        transition_time = 1 / (1 - stay_p)
        ts.append(last_t + transition_time)
        ps.append(last_p * transition_p / (1 - stay_p))
    if len(ts) == 0:
        return 0, 0.0
    t = np.average(ts, weights=ps)
    p = sum(ps)
    return t, p

print(get_t_and_p((SIDES,) * 4)[0])

Ước tính nhanh chóng và bẩn của Monte Carlo trong R độ dài của trò chơi cho 1 người chơi:

N = 1e5
sample_length = function(n) { # random game length
    x = numeric(0)
    while(length(unique(x)) < n) x[length(x)+1] = sample(1:n,1)
    return(length(x))
}
game_lengths = replicate(N, sample_length(6))

$\hat{\mu}=14.684$$\hat{\sigma} = 6.24$$[14.645,14.722]$

Để xác định độ dài của trò chơi bốn người chơi, chúng tôi có thể nhóm các mẫu thành bốn và lấy độ dài tối thiểu trung bình trên mỗi nhóm (bạn hỏi về mức tối đa, nhưng tôi cho rằng bạn có nghĩa là tối thiểu kể từ khi tôi đọc nó, Trò chơi kết thúc khi ai đó thành công trong việc lấy tất cả các số):

grouped_lengths = matrix(game_lengths, ncol=4)
min_lengths = apply(grouped_lengths, 1, min)

$\hat{\mu}=9.44$$\hat{\sigma} = 2.26$$[9.411,9.468]$

$m$

$$T_{1} = 6$$ $$T_{m} = 1 + \frac{6 - m}{6}T_{m} + \frac{m}{6}T_{m-1}$$

$m$$1$

• $T_{m}$$6 - m$$\frac{6 - m}{6}$
• $T_{m-1}$$m$$\frac{m}{6}$

$14.7$

Một lời giải thích đơn giản và trực quan cho câu hỏi đầu tiên:

Trước tiên bạn cần cuộn bất kỳ số nào. Điều này thật dễ dàng, nó sẽ luôn mất đúng 1 cuộn.

$\frac{5}{6}$$\frac{6}{5}$

$\frac{4}{6}$$\frac{6}{4}$

$\frac{3}{6}$$\frac{6}{3}$

Và như vậy cho đến khi chúng tôi hoàn thành thành công cuộn thứ 6 của mình:

$\frac{6}{6} + \frac{6}{5} + \frac{6}{4} + \frac{6}{3} + \frac{6}{2} + \frac{6}{1} = 14.7\ rolls$

Câu trả lời này tương tự như câu trả lời của Neil G, chỉ, không có chuỗi markov.

hàm mật độ xác suất (hoặc tương đương rời rạc) để lấy số mới tiếp theo là:

f = tổng (p * (1 - p) ^ (i - 1), i = 1 .. inf)

Trong đó p là xác suất trên mỗi cuộn, 1 khi không có số nào được cuộn, 5/6 sau 1, 4/6 .. xuống còn 1/6 cho số cuối cùng

giá trị mong đợi, mu = sum (i * p * (1 - p) ^ (i - 1), i = 1 .. inf) let n = i - 1 và đưa p ra ngoài phép tính tổng,

mu = p * tổng ((n + 1) * (1 - p) ^ n, n = 0 .. inf)

mu = p * sum (n (1-p) ^ n, n = 0 .. inf) + p * sum ((1-p) ^ n, n = 0 .. inf) mu = p * (1-p ) / (1-p-1) ^ 2 + p * 1 / (1- (1-p))

mu = p * (1 - p) / p ^ 2 + p / p

mu = (1 - p) / p + p / p

mu = (1 - p + p) / p

mu = 1 / p

Tổng các giá trị dự kiến ​​(mus) cho ps 1, 5/6, 4/6, 3/6, 2/6 và 1/6 là 14,7 như báo cáo trước đây, nhưng 1 / p trên mỗi số bắt buộc là chung bất kể kích thước chết

tương tự, chúng ta có thể tính toán độ lệch chuẩn

sigma ^ 2 = tổng ((i - mu) ^ 2 * p * (1 - p) ^ (i - 1), i = 1 .. inf)

Tôi sẽ dành cho bạn đại số ở đây, nhưng sigma ^ 2 = (1-p) / p ^ 2

Trong trường hợp 6, tổng sigma ^ 2 cho mỗi bước là 38,99 cho độ lệch chuẩn là khoảng 6,24, một lần nữa, như được mô phỏng

Câu hỏi 1 là:

Bao nhiêu lần bạn phải tung xúc xắc sáu mặt cho đến khi bạn nhận được mỗi số ít nhất một lần?

Rõ ràng, câu trả lời đúng phải là 'vô hạn'.