Có phải mức độ tự do cho bài kiểm tra của Welch luôn thấp hơn DF của bài kiểm tra gộp không?

Tôi đang giảng dạy một khóa học về thống kê cơ bản và chúng tôi đang thực hiện bài kiểm tra t cho hai mẫu độc lập với phương sai không bằng nhau (bài kiểm tra tiếng Wales). Trong các ví dụ tôi đã thấy, các mức độ tự do được điều chỉnh được sử dụng trong bài kiểm tra tiếng Wales luôn nhỏ hơn hoặc bằng . $n_1+n_2-2$

Luôn luôn là trường hợp này sao? Có phải bài kiểm tra tiếng Wales luôn giảm (hoặc không thay đổi) mức độ tự do của bài kiểm tra gộp (phương sai bằng nhau) không?

Và trong cùng một chủ đề, nếu độ lệch chuẩn mẫu bằng nhau, liệu DF của phép thử tiếng Wales có giảm xuống không? Tôi nhìn vào công thức, nhưng đại số trở nên lộn xộn.$n_1+n_2-2$

Đúng.

$$df'=\frac{\left(\frac{s^2_1}{n_1}+\frac{s^2_2}{n_2}\right)^2}{\frac{\left(\frac{s^2_1}{n_1}\right)^2}{n_1-1}+\frac{\left(\frac{s^2_2}{n_2}\right)^2}{n_2-1}}$$ $df'<df$$df'$$n_1-1$$n_2-1$$n_1+n_2-2~df$

Dưới đây là các tài liệu tham khảo 'chính thức' (lưu ý rằng điều chỉnh ở trên - một điều thường được sử dụng - được lấy từ bài báo thứ hai):

• Tiếng Wales, BL (1938). "Tầm quan trọng của sự khác biệt giữa hai phương tiện khi phương sai dân số không bằng nhau". Biometrika, 29, 3/4 , trang 350 Kết62 .
• Satterthwaite, FE (1946). "Một phân phối gần đúng các ước tính của các thành phần phương sai". Bản tin sinh trắc học, 2, 6 , trang 110 .
• Tiếng Wales, BL (1947). "Khái quát hóa vấn đề" Học sinh "khi có nhiều phương sai dân số khác nhau". Biometrika, 34, 1/2 , trang 28 trận35 .

(Googling có thể mang lại các phiên bản vô duyên của những thứ này.)