Làm thế nào để tìm phương sai giữa các điểm đa chiều?

Giả sử tôi có một ma trận X là n theo p, tức là nó có n quan sát, với mỗi quan sát trong không gian p chiều.

Làm thế nào để tôi tìm thấy phương sai của các quan sát n?

Trong trường hợp p = 1, tôi chỉ cần sử dụng công thức phương sai thông thường. Còn những trường hợp p> 1.

variance

— statnub
nguồn

Đối với biến ngẫu nhiên -dimensional , chúng tôi có định nghĩa về phương sai sau: $p$ $X = {\left( {{X_1}, \ldots ,{X_p}} \right)^\intercal}$

V a r (X) = E [(X - E X) {(X - E X)}^{⊺}] = (\begin{matrix} V a r (X_{1}) & \dots & C o v (X_{1}, X_{p}) \\ ⋮ & ⋱ & ⋮ \\ C o v (X_{p}, X_{1}) & \dots & V a r (X_{p}) \end{matrix})

$Var\left( X \right) = E\left[ {\left( {X - EX} \right){{\left( {X - EX} \right)}^\intercal}} \right] = \left( {\begin{array}{*{20}{c}} {Var\left( {{X_1}} \right)}& \ldots &{Cov\left( {{X_1},{X_p}} \right)} \\ \vdots & \ddots & \vdots \\ {Cov\left( {{X_p},{X_1}} \right)}& \ldots &{Var\left( {{X_p}} \right)} \end{array}} \right)$

Nghĩa là, phương sai của một vectơ ngẫu nhiên được định nghĩa là ma trận lưu trữ tất cả các phương sai trên đường chéo chính và hiệp phương sai giữa các thành phần khác nhau trong các phần tử khác. Mẫu ma trận hiệp phương sai sau đó sẽ được tính toán bằng cách cắm vào các chất tương tự mẫu cho các biến dân số: $p \times p$

\frac{1}{n - 1} (\begin{matrix} \sum_{i = 1}^{n} {(X_{i 1} - {\bar{X}}_{\cdot 1})}^{2} & \dots & \sum_{i = 1}^{n} (X_{i 1} - {\bar{X}}_{\cdot 1}) (X_{i p} - {\bar{X}}_{\cdot p}) \\ ⋮ & ⋱ & ⋮ \\ \sum_{i = 1}^{n} (X_{i p} - {\bar{X}}_{\cdot p}) (X_{i 1} - {\bar{X}}_{\cdot 1}) & \dots & \sum_{i = 1}^{n} {(X_{i p} - {\bar{X}}_{\cdot p})}^{2} \end{matrix})

$\frac{1}{{n - 1}}\left( {\begin{array}{*{20}{c}} {\sum\limits_{i = 1}^n {{{\left( {{X_{i1}} - {{\bar X}_{\cdot1}}} \right)}^2}} }& \ldots &{\sum\limits_{i = 1}^n {\left( {{X_{i1}} - {{\bar X}_{\cdot1}}} \right)\left( {{X_{ip}} - {{\bar X}_{\cdot p}}} \right)} } \\ \vdots & \ddots & \vdots \\ {\sum\limits_{i = 1}^n {\left( {{X_{ip}} - {{\bar X}_{\cdot p}}} \right)\left( {{X_{i1}} - {{\bar X}_{\cdot 1}}} \right)} }& \ldots &{\sum\limits_{i = 1}^n {{{\left( {{X_{ip}} - {{\bar X}_{\cdot p}}} \right)}^2}} } \end{array}} \right)$ trong đó biểu thị quan sát thứ cho tính năng và giá trị trung bình mẫu của

X_{i j}

${X_{ij}}$

i

$i$

j

$j$

{\bar{X}}_{\cdot j}

${{\bar X}_{ \cdot j}}$

j

$j$ tính năng thứ. Tóm lại, phương sai của một vectơ ngẫu nhiên được định nghĩa là ma trận chứa các phương sai và hiệp phương sai riêng lẻ. Do đó, nó đủ để tính toán phương sai mẫu và hiệp phương sai cho tất cả các thành phần vectơ riêng lẻ.

— Philipp Burckhard
nguồn