Tổng trọng số của hai biến ngẫu nhiên Poisson độc lập

Sử dụng wikipedia tôi đã tìm thấy một cách để tính hàm khối lượng xác suất xuất phát từ tổng của hai biến ngẫu nhiên Poisson. Tuy nhiên, tôi nghĩ rằng cách tiếp cận tôi có là sai.

Hãy có hai độc lập Poisson biến ngẫu nhiên với trung bình , và , nơi và là hằng, thì hàm xác suất-tạo của được cho bởi Bây giờ, bằng cách sử dụng hàm tạo xác suất cho biến ngẫu nhiên Poisson là , chúng ta có thể viết hàm tạo xác suất của tổng của hai biến ngẫu nhiên Poisson độc lập là $X_1, X_2$ $\lambda_1, \lambda_2$ $S_2 = a_1 X_1+a_2 X_2$ $a_1$ $a_2$ $S_2$

G_{S_{2}} (z) = E (z^{S_{2}}) = E (z^{a_{1} X_{1} + a_{2} X_{2}}) G_{X_{1}} (z^{a_{1}}) G_{X_{2}} (z^{a_{2}}) .

$G_{S_2}(z) = \operatorname{E}(z^{S_2})= \operatorname{E}(z^{a_1 X_1+a_2 X_2}) G_{X_1}(z^{a_1})G_{X_2}(z^{a_2}).$

G_{X_{i}} (z) = e^{λ_{i} (z - 1)}

$G_{X_i}(z) = \textrm{e}^{\lambda_i(z - 1)}$

\begin{aligned} G_{S_{2}} (z) & = e^{λ_{1} (z^{a_{1}} - 1)} e^{λ_{2} (z^{a_{2}} - 1)} \\ = e^{λ_{1} (z^{a_{1}} - 1) + λ_{2} (z^{a_{2}} - 1)} . \end{aligned}

$\begin{aligned} G_{S_2}(z) &= \textrm{e}^{\lambda_1(z^{a_1} - 1)}\textrm{e}^{\lambda_2(z^{a_2} - 1)} \\ &= \textrm{e}^{\lambda_1(z^{a_1} - 1)+\lambda_2(z^{a_2} - 1)}. \end{aligned}$ Có vẻ như hàm khối lượng xác suất của được phục hồi bằng cách lấy đạo hàm của , Trong đó .

S_{2}

$S_2$

G_{S_{2}} (z)

$G_{S_2}(z)$

\Pr (S_{2} = k) = \frac{G_{S_{2}}^{(k)} (0)}{k!}

$\operatorname{Pr}(S_2 = k) = \frac{G_{S_2}^{(k)}(0)}{k!}$

G_{S_{2}}^{(k)} = \frac{d^{k} G_{S_{2}} (z)}{d z^{k}}

$G_{S_2}^{(k)} = \frac{d^k G_{S_2}(z)}{ d z^k}$

Điều này có đúng không? Tôi có cảm giác tôi không thể chỉ lấy đạo hàm để có được hàm khối xác suất, vì hằng và . Thê nay đung không? Có một cách tiếp cận khác? $a_1$ $a_2$

Nếu điều này là chính xác thì bây giờ tôi có thể có được xấp xỉ phân phối tích lũy bằng cách cắt tổng vô hạn trên tất cả k không?

distributions poisson-distribution

— Michel
nguồn

Tại sao các bạn mở rộng quy mô các summands với và ? Tổng chỉ là một phân phối Poisson mà không có điều này. Các biến lấy các giá trị trong các số nguyên dương, do đó, khoảng lần cộng với lần thứ hai thường là không tự nhiên và sẽ cho phép bạn khôi phục các giá trị của cả hai biến.

a_{1}

$a_1$

a_{2}

$a_2$

1

$1$

\sqrt{2}

$\sqrt{2}$

— Douglas Zare

Khó khăn ở đây là trừ khi cả hai và là các số nguyên, người ta không thể chắc chắn rằng mất trên chỉ có giá trị số nguyên. Do đó, bạn cần tìm không chỉ cho các giá trị nguyên của mà cả cho mỗi có thể được biểu thị dưới dạng cho các số nguyên không âm và .

a_{1}

$a_1$

a_{2}

$a_2$

S_{2}

$S_2$

P (S_{2} = k)

$P(S_2 = k)$

k

$k$

P (S_{2} = α)

$P(S_2 = \alpha)$

α

$\alpha$

a_{1} m + a_{2} n

$a_1m + a_2n$

m

$m$

n

$n$

— Dilip Sarwate

@DilipSarwate Có được không? Có một cách tiếp cận khác để làm điều này?

— Michel

@DoumundZare Tôi phải làm điều này ... Có lẽ tôi phải chuyển sang một phương pháp bootstrapping nào đó.

— Michel

Tôi không nghĩ rằng bạn có thể làm tốt hơn nhiều so với cách tiếp cận mạnh mẽ tìm thấy các giá trị có thể có mà có thể đảm nhận và sau đó cho mỗi , hãy sử dụngĐối với hầu hết lựa chọn của và , tôi mong chờ rằng hầu hết số tiền sẽ giảm xuống còn một thuật ngữ duy nhất. Tôi hy vọng bạn biết rằng với , là biến ngẫu nhiên Poisson với tham số .

S_{2}

$S_2$

α

$\alpha$

P {S_{2} = α} = \sum_{a_{1} m + a_{2} n = α} P {X_{1} = m} P {X_{2} = n} = \sum_{a_{1} m + a_{2} n = α} \exp (- λ_{1} m) \frac{λ_{1}^{m}}{m!} \exp (- λ_{2} n) \frac{λ_{2}^{n}}{n!} .

$P\{S_2 = \alpha\} = \sum_{a_1m + a_2n = \alpha}P\{X_1=m\}P\{X_2=n\} = \sum_{a_1m + a_2n = \alpha} \exp(-\lambda_1m)\frac{\lambda_1^m}{m!}\exp(-\lambda_2n)\frac{\lambda_2^n}{n!}.$

a_{1}

$a_1$

a_{2}

$a_2$

a_{1} = a_{2} = 1

$a_1=a_2=1$

S_{2}

$S_2$

λ_{1} + λ_{2}

$\lambda_1+\lambda_2$

— Dilip Sarwate

Câu trả lời:

Với điều kiện không có nhiều xác suất tập trung vào bất kỳ giá trị đơn lẻ nào trong tổ hợp tuyến tính này, có vẻ như việc mở rộng Cornish-Fisher có thể cung cấp xấp xỉ tốt cho CDF (nghịch đảo).

Hãy nhớ lại rằng bản mở rộng này điều chỉnh CDF nghịch đảo của phân phối chuẩn thông thường bằng cách sử dụng một vài tích lũy đầu tiên của . Độ lệch của nó là $S_2$ $\beta_1$

\frac{a_{1}^{3} λ_{1} + a_{2}^{3} λ_{2}}{{(\sqrt{a_{1}^{2} λ_{1} + a_{2}^{2} λ_{2}})}^{3}}

$\frac{a_1^3 \lambda_1 + a_2^3 \lambda_2}{\left(\sqrt{a_1^2 \lambda_1 + a_2^2 \lambda_2}\right)^3}$

và sự suy yếu của nó là $\beta_2$

\frac{a_{1}^{4} λ_{1} + 3 a_{1}^{4} λ_{1}^{2} + a_{2}^{4} λ_{2} + 6 a_{1}^{2} a_{2}^{2} λ_{1} λ_{2} + 3 a_{2}^{4} λ_{2}^{2}}{{(a_{1}^{2} λ_{1} + a_{2}^{2} λ_{2})}^{2}} .

$\frac{a_1^4 \lambda_1 + 3a_1^4 \lambda_1^2 + a_2^4 \lambda_2 + 6 a_1^2 a_2^2 \lambda_1 \lambda_2 + 3 a_2^4 \lambda_2^2}{\left(a_1^2 \lambda_1 + a_2^2 \lambda_2\right)^2}.$

Để tìm phần trăm của phiên bản tiêu chuẩn hóa , hãy tính toán $\alpha$ $S_2$

w_{α} = z + \frac{1}{6} β_{1} (z^{2} - 1) + \frac{1}{24} (β_{2} - 3) (z^{2} - 3) z - \frac{1}{36} β_{1}^{2} z (2 z^{2} - 5 z) - \frac{1}{24} (β_{2} - 3) β_{1} (z^{4} - 5 z^{2} + 2)

$w_\alpha = z +\frac{1}{6} \beta _1 \left(z^2-1\right) +\frac{1}{24} \left(\beta _2-3\right) \left(z^2-3\right) z-\frac{1}{36} \beta _1^2 z \left(2 z^2-5 z\right)-\frac{1}{24} \left(\beta _2-3\right) \beta _1 \left(z^4-5 z^2+2\right)$

Trong đó là phân vị của phân phối chuẩn. Phần trăm của do đó là $z$ $\alpha$ $S_2$

a_{1} λ_{1} + a_{2} λ_{2} + w_{α} \sqrt{a_{1}^{2} λ_{1} + a_{2}^{2} λ_{2}} .

$a_1 \lambda_1 + a_2 \lambda_2 + w_\alpha \sqrt{a_1^2 \lambda_1 + a_2^2 \lambda_2}.$

Các thử nghiệm bằng số cho thấy đây là một xấp xỉ tốt khi cả và vượt quá hoặc hơn. Ví dụ: hãy xem xét trường hợp và (được sắp xếp để có nghĩa là không thuận tiện): $\lambda_1$ $\lambda_2$ $5$ $\lambda_1 = 5,$ $\lambda_2=5\pi/2,$ $a_1=\pi,$ $a_2=-2$

Nhân vật

Phần được tô màu xanh lam là CDF được tính toán bằng số của trong khi phần màu đỏ bên dưới là xấp xỉ Cornish - Fisher. Sự gần đúng về cơ bản là sự thông suốt của phân phối thực tế, chỉ hiển thị các lần khởi hành có hệ thống nhỏ. $S_2$

— whuber
nguồn

Sử dụng tốt một công cụ thường bị lãng quên ... và, tất nhiên, đối với cả hoặc hoặc lâu hơn, phương pháp kết hợp lực lượng vũ phu sẽ không quá đau đớn.

λ_{1}

$\lambda_1$

λ_{2} \leq 5

$\lambda_2 \leq 5$

— jbowman

Sử dụng tích chập:

Đặt Cho , nếu không và Cho , nếu không. $f_{X_1}(x_1)= \dfrac{\lambda^{x_1}e^{-\lambda}}{x_1!}$ $x_1 \geq 0$ $f_{X_1}(x_1)= 0$ $f_{X_2}(x_2)=\dfrac{\lambda^{x_2}e^{-\lambda}}{x_2!}$ $x_2 \geq 0$ $f_{X_2}(x_2)= 0$

Đặt , vì vậy Cái trước được gọi là tích chập. $Z=X_1+X_2\rightarrow X_1=Z-X_2$

f_{Z} (z) = \int_{- \infty}^{\infty} \int_{- \infty}^{\infty} f_{x_{1}, x_{2}} (z - x_{2}, x_{2}) d x_{1} d x_{2}

$f_Z(z)=\int\limits_{-\infty}^{\infty}\int\limits_{-\infty}^{\infty}f_{x_1,x_2}(z-x_2,x_2)dx_1dx_2$

Nếu và độc lập, Bằng cách này, bạn có thể có được phân phối tổng của hai biến ngẫu nhiên liên tục. $X_1$ $X_2$

f_{Z} (z) = \int_{- \infty}^{\infty} \int_{- \infty}^{\infty} f_{X_{1}} (z - x_{2}) f_{X_{2}} (x_{2}) d x_{1} d x_{2}

$f_Z(z)=\int\limits_{-\infty}^{\infty}\int\limits_{-\infty}^{\infty}f_{X_1}(z-x_2)f_{X_2}(x_2)dx_1dx_2$

Đối với phân phối poisson rời rạc Đây cũng là một bản phân phối Poisson với tham số

f_{Z} (z) = \sum_{x_{2} = 0}^{z} \frac{λ_{1}^{z - x_{2}} e^{- λ_{1}}}{(z - x_{2})!} \frac{λ_{2}^{x_{2}} e^{- λ_{2}}}{x_{2}!}

$f_Z(z)=\sum\limits_{x_2=0}^{z} \dfrac{\lambda^{z-x_{2}}_1e^{-\lambda_1}}{(z-x_2)!}\dfrac{\lambda^{x_2}_2e^{-\lambda_2}}{x_2!}$

= e^{- (λ_{1} + λ_{2})} \frac{(λ_{1} + λ_{2})^{z}}{z!}

$= e^{-(\lambda_1+\lambda_2)}\dfrac{(\lambda_1+\lambda_2)^z}{z!}$

λ_{1} + λ_{2}

$\lambda_1+\lambda_2$

— QAChip
nguồn

Điều này dường như để trả lời một câu hỏi khác nhau: cụ thể là, làm thế nào để thêm hai phân phối Poisson. Đó là trường hợp đặc biệt (nhưng có thể được mở rộng cho các trường hợp mà không gặp rắc rối nào). Nhưng bạn sẽ làm gì khi ?

a_{1} = a_{2} = 1

$a_1=a_2=1$

a_{1} = a_{2}

$a_1 = a_2$

a_{1} \neq a_{2}

$a_1 \ne a_2$

— whuber

Tôi nghĩ rằng giải pháp là khái niệm về phân phối Poisson ghép. Ý tưởng là một khoản tiền ngẫu nhiên với Poisson phân phối và và độc lập chuỗi các . Khi chúng tôi restric vào trường hợp đó luôn, sau đó chúng ta có thể mô tả cho một số thực và Poisson phân . Bạn nhận được pgf bởi Với tổng bạn nhận được định nghĩa

S = \sum_{i = 1}^{N} X_{i}

$S = \sum_{i=1}^N X_i$

N

$N$

X_{i}

$X_i$

i i d

$iid$

N

$N$

X_{i} = k

$X_i=k$

k N

$k N$

k

$k$

N

$N$

E [s^{k N}] = E [(s^{k})^{N}] = G_{N} (s^{k}) = \exp (λ (s^{k} - 1))

$E[s^{k N}] = E[(s^{k})^N] = G_N(s^{k}) = \exp(\lambda(s^k-1))$

Z = k_{1} N_{1} + k_{2} N_{2}

$Z = k_1 N_1 + k_2 N_2$

G_{Z} (s) = \exp (λ_{1} (s^{k_{1}} - 1) + λ_{2} (s^{k_{2}} - 1)) .

$G_Z(s) = \exp(\lambda_1(s^{k_1}-1) + \lambda_2(s^{k_2}-1)).$

λ = λ_{1} + λ_{2}

$\lambda = \lambda_1 + \lambda_2$ sau đó Giải thích cuối cùng là rv kết quả là phân phối Poisson tổng hợp với cường độ và phân phối lấy giá trị với xác suất và giá trị với .

G_{Z} (s) = \exp (λ (\frac{λ_{1}}{λ} (s^{k_{1}} - 1) + \frac{λ_{2}}{λ} (s^{k_{1}} - 1)) = \exp (λ (\frac{λ_{1}}{λ} s^{k_{1}} + \frac{λ_{2}}{λ} s^{k_{1}} - 1)) .

$G_Z(s) = \exp(\lambda ( \frac{\lambda_1}{\lambda}(s^{k_1}-1)+ \frac{\lambda_2}{\lambda}(s^{k_1}-1)) = \exp(\lambda (\frac{\lambda_1}{\lambda}s^{k_1}+ \frac{\lambda_2}{\lambda}s^{k_1}-1)).$

λ = λ_{1} + λ_{2}

$\lambda = \lambda_1 + \lambda_2$

X_{i}

$X_i$

k_{1}

$k_1$

λ_{1} / λ

$\lambda_1/\lambda$

k_{2}

$k_2$

λ_{2} / λ

$\lambda_2/\lambda$

Khi đã chứng minh rằng các bản phân phối là hợp chất Poisson, chúng ta có thể sử dụng đệ quy Panjer trong trường hợp và là các số nguyên dương. Hoặc chúng ta có thể dễ dàng rút ra biến đổi Fourier từ dạng pgf và lấy lại phân phối ngược lại. Lưu ý rằng có một điểm khối lượng bằng . $k_1$ $k_2$ $0$

Chỉnh sửa sau một cuộc thảo luận:

Tôi nghĩ điều tốt nhất bạn có thể làm là MC. Bạn có thể sử dụng đạo hàm rằng đây là một hỗn hợp Poisson.

mẫu N từ (rất hiệu quả) $Pois(\lambda)$
sau đó với mỗi mẫu cho dù đó là từ hoặc trong đó xác suất của lần đầu tiên là . Thực hiện việc này bằng cách lấy mẫu rv Bernoulli với xác suất thành công . Nếu là thì thêm vào tổng được lấy mẫu, thêm . $i=1,\ldots,N$ $X_1$ $X_2$ $\lambda_1/\lambda$ $\lambda_1/\lambda$ $1$ $k_1$ $k_2$

Bạn sẽ có một mẫu nói 100 000 trong vài giây.

Ngoài ra, bạn có thể lấy mẫu hai triệu hồi trong đại diện bẩm sinh của mình một cách riêng biệt ... điều này sẽ nhanh chóng.

Mọi thứ khác (FFT) đều phức tạp nếu hệ số không đổi k1 và k2 hoàn toàn chung.

— Ric
nguồn

Và phân phối cuối cùng có thể được tìm thấy bằng thuật toán Panjer nếu các yếu tố là số nguyên.

— Ric

Cảm ơn! Tôi đã nhận được Tuy nhiên , bắt đầu từ điều này tôi muốn tìm một cách để có thể có được một số loại phân phối. Bạn đã đề cập đến thuật toán Panjer? Tuy nhiên, trong trường hợp này . @DilipSarwate Chỉ cần đề cập rằng không thể đơn giản hóa nói chung .

G_{S_{2}} (z) = e^{λ_{1} (z^{a_{1}} - 1)} e^{λ_{2} (z^{a_{2}} - 1)}

$G_{S_2}(z) = \textrm{e}^{\lambda_1(z^{a_1} - 1)}\textrm{e}^{\lambda_2(z^{a_2} - 1)}$

a_{1}, a_{2} \in R^{1}

$a_1,a_2 \in R^1$

P {S_{2} = α} = \sum_{a_{1} m + a_{2} n = α} P {X_{1} = m} P {X_{2} = n} = \sum_{a_{1} m + a_{2} n = α} \exp (- λ_{1} m) \frac{λ_{1}^{m}}{m!} \exp (- λ_{2} n) \frac{λ_{2}^{n}}{n!},

$P\{S_2 = \alpha\} = \sum_{a_1m + a_2n = \alpha}P\{X_1=m\}P\{X_2=n\} = \sum_{a_1m + a_2n = \alpha} \exp(-\lambda_1m)\frac{\lambda_1^m}{m!}\exp(-\lambda_2n)\frac{\lambda_2^n}{n!},$

a_{1}, a_{2}

$a_1,a_2$

— Michel

Xin chào Michel, tôi đã chỉnh sửa phản hồi của mình. Có Panjer được sử dụng hạn chế. Nhưng bạn có thể thử một cách tiếp cận biến đổi Fourier. Tuy nhiên, các đơn vị không nguyên là có vấn đề ... Tôi phải suy nghĩ thêm về những việc cần làm trong trường hợp này. Dù bằng cách nào, điều quan trọng cần lưu ý là kết quả là phân phối Poisson tổng hợp (không phải là phân phối Poisson "đơn giản").

— Ric

Xin chào Richard, Cảm ơn bạn đã cập nhật! Ý bạn là tôi nên thử tính toán bằng số: ?

P r (S_{2} = x) = \frac{1}{2 π} \int_{R} e^{- i t x} G_{S 2} (e^{i t}) d t

$Pr(S_2=x) = \frac{1}{2\pi}\int_{\mathbf{R}} e^{-itx}G_{S2}(\mathrm{e}^{it})dt$

— Michel

Một cái gì đó theo cách ... Nếu chúng ta có một phân phối liên tục trong đó chúng ta có thể tính toán hàm đặc trưng (như bạn làm), thì điều này dẫn đến một kết quả nhanh chóng và tốt đẹp. Trong trường hợp của chúng tôi, tôi cần thêm thời gian để suy nghĩ về nó. Cần có một cái gì đó dễ dàng hơn.

— Ric