Các ký hiệu điều hòa cho các mô hình hỗn hợp

Tôi quen thuộc với ký hiệu như:

\begin{aligned} y_{i j} & = β_{0} + β_{i} x_{i j} + u_{j} + e_{i j} \\ = β_{0 j} + β_{i} x_{i j} + e_{i j} \end{aligned}

$\begin{align} y_{ij} &= \beta_0 + \beta_i x_{ij} + u_j + e_{ij}\\ &= \beta_{0j} + \beta_i x_{ij} + e_{ij} \end{align}$ đâu

β_{0 j} = β_{0} + u_{j}

$\beta_{0j}=\beta_{0}+u_j$ , và

\begin{aligned} y_{i j} & = β_{0} + β_{1} x_{i j} + u_{0 j} + u_{1 j} x_{i j} + e_{i j} \\ = β_{0 j} + β_{1 j} x_{i j} + e_{i j} \end{aligned}

$\begin{align} y_{ij} &= \beta_0 + \beta_1 x_{ij} + u_{0j} + u_{1j} x_{ij} + e_{ij} \\ &= \beta_{0j} + \beta_{1j} x_{ij} + e_{ij} \end{align}$ đâu

β_{0 j} = β_{0} + u_{0 j}

$\beta_{0j}=\beta_{0}+u_{0j}$ và

β_{1 j} = β_{1} + u_{1 j}

$\beta_{1j}=\beta_1+u_{1j}$

tương ứng cho một mô hình chặn ngẫu nhiên và một độ dốc ngẫu nhiên + mô hình chặn ngẫu nhiên, tương ứng.

Tôi cũng đã bắt gặp ký hiệu ma trận / vectơ này, mà tôi đã nói là "ký hiệu mô hình hỗn hợp cho người lớn" (theo anh trai tôi):

nơi là những hiệu ứng cố định và là những hiệu ứng ngẫu nhiên.

y = X β + Z b + e

$\mathbf{y}=\mathbf{X\beta} + \mathbf{Z b} + \mathbf{e}$

β

$\mathbf{\beta}$

b

$\mathbf{b}$

Nếu tôi đã hiểu chính xác, ký hiệu sau là ký hiệu tổng quát hơn cho cái trước là phiên bản cụ thể của cái sau.

Tôi muốn xem làm thế nào cái trước có thể được bắt nguồn từ cái sau.

mixed-model mathematical-statistics

— Joe King
nguồn

Bạn đang hỏi về một lời giải thích về ký hiệu ma trận? Lý do tôi hỏi là câu hỏi này không cần bất kỳ dẫn xuất toán học nào: tất cả các công thức của bạn đều nói chính xác những điều tương tự và liên quan chúng với nhau chỉ là vấn đề hiểu cách ký hiệu ma trận hoạt động.

— whuber

@whuber Tôi hiểu ký hiệu ma trận và đại số ma trận, ở một mức độ nào đó. Nhưng tôi không biết làm thế nào để bắt đầu từ dạng ma trận và đến các dạng khác. Có lẽ tôi không hiểu gì về ma trận X và Z, nhưng tôi chỉ hy vọng rằng ai đó sẽ đánh vần nó.

— Joe King

@whuber có điều gì tôi có thể làm để cải thiện câu hỏi không, hoặc bạn đang nói rằng nó quá cơ bản đến nỗi nó không xứng đáng có câu trả lời?

— Joe King

@JoeKing: Tôi nghĩ rằng anh ấy nói rằng ký hiệu ma trận theo định nghĩa tương đương với ký hiệu phi ma trận của bạn. Nghĩa là, bạn đã có

(ixj lần ma trận jx1 ma trận năng suất ix1 ma trận

) là

. (Bạn có thể cuộn

thành

bằng cách bao gồm 1 trong

x_{i j} β_{i}

$x_{ij}\beta_i$

y_{i}

$y_i$

y = X β

$y=X\beta$

β_{0}

$\beta_0$

β

$\beta$

X

$X$

— Wayne

@Wayne cả hai mô hình có hiệu ứng ngẫu nhiên và hiệu ứng cố định. Cái thứ nhất có một đánh chặn ngẫu nhiên, trong khi cái thứ hai có một đánh chặn ngẫu nhiên và một độ dốc ngẫu nhiên. Nếu tôi có thể "tự mình hiểu ra" thì tôi sẽ không đặt câu hỏi ở đây !!!!

— Joe King

Chúng tôi xem xét một mô hình hỗn hợp với độ dốc ngẫu nhiên và chặn ngẫu nhiên. Cho rằng chúng tôi chỉ có một regressor, mô hình này có thể được viết như nơi

y_{i j} = β_{0} + β_{1} x_{i j} + u_{0 j} + u_{1 j} x_{i j} + ϵ_{i j},

$y_{ij}= \beta_0 + \beta_1 x_{ij} + u_{0j}+u_{1j}x_{ij}+\epsilon_{ij},$

biểu thị

- quan sát của nhóm

của phản ứng, và

và

y_{i j}

$y_{ij}$

i

$i$

j

$j$

x_{i j}

$x_{ij}$

ϵ_{i j}

$\epsilon_{ij}$ dự đoán tương ứng và thời hạn lỗi.

Mô hình này có thể được thể hiện bằng ký hiệu ma trận như sau:

tương đương với

Y = X β + Zb + ϵ,

$\mathbf{Y}=\mathbf{X}\beta + \textbf{Zb} + \epsilon,$

Y = [\begin{matrix} X & Z \end{matrix}] [\begin{matrix} β \\ b \end{matrix}] + ϵ

$\mathbf{Y}= \begin{bmatrix} \mathbf{X} & \textbf{Z} \end{bmatrix} \begin{bmatrix} \beta\\ \mathbf{b} \end{bmatrix}+ \epsilon$

Chúng ta hãy giả sử rằng chúng ta có nhóm, tức là và để cho biểu thị số quan sát trong nhóm -thứ. Phân vùng cho mỗi nhóm, chúng ta có thể viết công thức trên như $J$ $j=1,\dots,J$ $n_j$ $j$

[\begin{matrix} Y_{1} \\ Y_{2} \\ ⋮ \\ Y_{J} \end{matrix}] = [\begin{matrix} X_{1} & Z_{1} & 0 & 0 & 0 \\ X_{2} & 0 & Z_{2} & 0 & 0 \\ ⋮ & \dots \\ X_{J} & 0 & 0 & 0 & Z_{J} \end{matrix}] [\begin{matrix} β \\ b_{1} \\ b_{2} \\ ⋮ \\ b_{J} \end{matrix}] + [\begin{matrix} ϵ_{1} \\ ϵ_{2} \\ ⋮ \\ ϵ_{J} \end{matrix}]

$\begin{bmatrix} \mathbf{Y_1} \\ \mathbf{Y_2} \\ \vdots \\ \mathbf{Y_J} \end{bmatrix}=\begin{bmatrix} \mathbf{X_1} & \mathbf{Z_1} & 0 & 0 & 0 \\ \mathbf{X_2} & 0 & \mathbf{Z_2} & 0 & 0 \\ \vdots & & & \dots & \\ \mathbf{X_J} & 0 & 0 & 0 & \mathbf{Z_J} \end{bmatrix} \begin{bmatrix} \beta \\ b_1 \\ b_2 \\ \vdots \\ b_J \end{bmatrix}+\begin{bmatrix} \epsilon_1 \\ \epsilon_2 \\ \vdots \\ \epsilon_J \end{bmatrix}$

Trong đó là ma trận chứa tất cả các quan sát phản hồi cho nhóm , và là ma trận thiết kế trong trường hợp này và lại là ma trận . $\mathbf{Y_j}$ $n_j \times 1$ $j$ $\mathbf{X_j}$ $\mathbf{Z_j}$ $n_j \times 2$ $\epsilon_j$ $n_j \times 1$

Viết chúng ra, chúng tôi có:

và $\mathbf{Y_j} = \begin{bmatrix} y_{1j}\\ y_{2j}\\ \vdots \\ y_{n_jj} \end{bmatrix}, \mathbf{X_j}=\mathbf{Z_j}=\begin{bmatrix} 1 & x_{1j} \\ 1 & x_{2j} \\ \vdots & \vdots \\ 1 & x_{n_jj} \end{bmatrix}$ $\epsilon_j = \begin{bmatrix} \epsilon_{1j}\\ \epsilon_{2j}\\ \vdots \\ \epsilon_{n_jj} \end{bmatrix}.$

Các vectơ hệ số hồi quy sau đó là

, $\beta = \begin{pmatrix} \beta_0 \\ \beta_1 \end{pmatrix}$ $b_j=\begin{pmatrix} u_{0j}\\ u_{1j} \end{pmatrix}$

Để thấy rằng hai công thức mô hình thực sự tương đương nhau, chúng ta hãy xem xét bất kỳ nhóm nào (giả sử nhóm thứ ). $j$

Y_{j} = X_{j} β + Z_{j} b_{j} + ϵ_{j}

$\mathbf{Y_j} = \mathbf{X_j} \beta + \mathbf{Z_j}b_j + \epsilon_j$

$i$

y_{i j} = β_{0} + β_{1} x_{i j} + u_{0 j} + u_{1 j} x_{i j} + ϵ_{i j},

$y_{ij}= \beta_0 + \beta_1 x_{ij} + u_{0j}+u_{1j}x_{ij}+\epsilon_{ij},$

i

$i$

1

$1$

n_{j}

$n_j$

— Philipp Burckhard
nguồn

Z_{j}

$Z_j$

Z

$Z$ ma trận. Các

Z_{j}

$Z_j$ về cơ bản là một phiên bản lưu trữ ma trận thưa thớt của

Z

$Z$

— xác suất