Một biến ngẫu nhiên có nghĩa là gì?

Ý họ là gì khi họ nói "biến ngẫu nhiên"?

Một biến ngẫu nhiên là một biến có giá trị phụ thuộc vào các sự kiện chưa biết. Chúng ta có thể tóm tắt các sự kiện chưa biết là "trạng thái", và sau đó biến ngẫu nhiên là một hàm của trạng thái.

Thí dụ:

Giả sử chúng ta có ba cuộn súc sắc ( , , ). Khi đó trạng thái . D 2 D 3 S = ( D 1 , D 2 , D 3$D_{1}$$D_{2}$$D_{3}$$S=(D_{1},D_{2},D_{3})$

1. Một biến ngẫu nhiên là số 5s. Đây là:$X$

2. Một biến ngẫu nhiên là tổng của các cuộn súc sắc. Đây là:$Y$

Giới thiệu

Khi suy nghĩ về một bình luận gần đây, tôi nhận thấy rằng tất cả các câu trả lời cho đến nay đều phải chịu đựng việc sử dụng các thuật ngữ không xác định như "biến" và các thuật ngữ mơ hồ như "không xác định" hoặc thu hút các khái niệm toán học kỹ thuật như "hàm" và "không gian xác suất". Chúng ta nên nói gì với người không phải là người toán học muốn có một định nghĩa rõ ràng, trực quan nhưng chính xác về "biến ngẫu nhiên"? Sau một số sơ khảo mô tả một mô hình đơn giản của các hiện tượng ngẫu nhiên, tôi đưa ra một định nghĩa đủ ngắn để phù hợp với một dòng. Bởi vì nó có thể không đáp ứng đầy đủ các cognoscenti , một sau đó giải thích làm thế nào để mở rộng này để định nghĩa kỹ thuật bình thường.

Vé trong hộp

Một cách để tiếp cận ý tưởng đằng sau một biến ngẫu nhiên là thu hút mô hình ngẫu nhiên vé trong hộp . Mô hình này thay thế một thí nghiệm hoặc quan sát bằng một hộp đầy vé. Trên mỗi vé được viết một kết quả có thể của thí nghiệm. (Một kết quả có thể đơn giản như "đầu" hoặc "đuôi" nhưng trong thực tế, nó là một điều phức tạp hơn, chẳng hạn như lịch sử giá cổ phiếu, hồ sơ hoàn chỉnh của một thử nghiệm dài hoặc chuỗi tất cả các từ trong tài liệu .) Tất cả các kết quả có thể xuất hiện ít nhất một lần trong số các vé; một số kết quả có thể xuất hiện trên nhiều vé.

Thay vì thực sự tiến hành thử nghiệm, chúng tôi tưởng tượng kỹ lưỡng - nhưng mù quáng - trộn tất cả các vé và chỉ chọn một. Nếu chúng ta có thể thấy rằng các thí nghiệm thực nên cư xử như thể nó đã được tiến hành theo cách này, sau đó chúng tôi đã giảm một thí nghiệm thực thế giới có khả năng phức tạp (và đắt tiền, và kéo dài) để đơn giản, trực quan, thí nghiệm nghĩ (hay "mô hình thống kê "). Sự rõ ràng và đơn giản mà mô hình này cung cấp cho phép phân tích thử nghiệm.

Một ví dụ

Các ví dụ tiêu chuẩn liên quan đến kết quả của việc tung đồng xu và súc sắc và vẽ thẻ chơi. Những điều này hơi mất tập trung vì sự tầm thường của chúng, vì vậy để minh họa, giả sử chúng ta lo ngại về kết quả của cuộc bầu cử tổng thống Mỹ năm 2016. Như một sự đơn giản hóa (nhỏ bé), tôi sẽ cho rằng một trong hai đảng lớn - Đảng Cộng hòa (R) hoặc Dân chủ (D) - sẽ giành chiến thắng. Bởi vì (với thông tin hiện có) kết quả không chắc chắn, chúng tôi tưởng tượng việc đặt vé vào một hộp: một số có chữ "R" được viết trên đó và những người khác có chữ "D". Mô hình của chúng tôi về kết quả là rút ra chính xác một vé từ hộp này.

Vẫn còn thiếu một điều: chúng tôi chưa quy định sẽ có bao nhiêu vé cho mỗi kết quả. Trong thực tế, phát hiện ra điều này là vấn đề chính của thống kê: dựa trên các quan sát (và lý thuyết), có thể nói gì về tỷ lệ tương đối của từng kết quả trong hộp?

(Tôi hy vọng rằng tỷ lệ của từng loại vé trong hộp xác định các thuộc tính của nó, chứ không phải là số lượng thực tế của mỗi vé. Tỷ lệ được xác định - như thường lệ - là số lượng của mỗi loại vé chia cho ví dụ: tổng số vé có một vé "D" và một vé "R" hoạt động giống hệt như một hộp có một triệu vé "D" và một triệu vé "R", vì trong cả hai trường hợp, mỗi loại đều 50% tất cả các vé và do đó, mỗi vé có 50% cơ hội được rút ra khi các vé được trộn kỹ lưỡng.)

Làm mô hình định lượng

Nhưng chúng ta đừng theo đuổi câu hỏi này ở đây, vì chúng ta đang ở gần mục tiêu xác định một biến ngẫu nhiên. Vấn đề với mô hình cho đến nay là nó không thể định lượng được, trong khi chúng tôi muốn có thể trả lời các câu hỏi định lượng với nó. Và tôi cũng không có ý tầm thường, nhưng những câu hỏi thực tế, thực tế như "nếu công ty của tôi có một tỷ Euro đầu tư vào phát triển nhiên liệu hóa thạch ngoài khơi của Hoa Kỳ, thì giá trị của khoản đầu tư này sẽ thay đổi như thế nào trong cuộc bầu cử năm 2016 ? " Trong trường hợp này, mô hình rất đơn giản đến nỗi chúng ta không thể làm gì để có câu trả lời thực tế cho câu hỏi này, nhưng chúng ta có thể đi xa đến mức hỏi ý kiến ​​nhân viên kinh tế và hỏi ý kiến ​​của họ về hai kết quả có thể xảy ra:

1. Nếu đảng Dân chủ giành chiến thắng, khoản đầu tư sẽ thay đổi bao nhiêu? (Giả sử câu trả lời là đô la.)$d$

2. Nếu đảng Cộng hòa giành chiến thắng, nó sẽ thay đổi bao nhiêu? (Giả sử câu trả lời là đô la.)$r$

Câu trả lời là những con số. Để sử dụng chúng trong mô hình, tôi sẽ yêu cầu nhân viên của mình duyệt qua tất cả các vé trong hộp và trên mỗi vé "D" để viết " đô la" và trên mỗi vé "R" để viết " đô la". Bây giờ chúng ta có thể mô hình hóa sự không chắc chắn trong đầu tư một cách rõ ràng và định lượng: thay đổi giá trị sau bầu cử của nó cũng giống như nhận được số tiền ghi trên một vé được rút ngẫu nhiên từ hộp này.$d$$r$

Mô hình này giúp chúng tôi trả lời các câu hỏi bổ sung về đầu tư. Chẳng hạn, chúng ta nên không chắc chắn về giá trị của khoản đầu tư như thế nào? Mặc dù có những công thức toán học (đơn giản) cho sự không chắc chắn này, chúng tôi có thể tái tạo câu trả lời của họ một cách hợp lý chính xác chỉ bằng cách sử dụng mô hình của chúng tôi nhiều lần - có thể hơn một nghìn lần - để xem loại kết quả nào thực sự xảy ra và đo lường mức độ lây lan của chúng. Một mô hình vé trong hộp cho chúng ta một cách để suy luận một cách định lượng về kết quả không chắc chắn.

Biến ngẫu nhiên

Để có được câu trả lời định lượng về các hiện tượng không chắc chắn hoặc biến đổi, chúng ta có thể áp dụng mô hình vé trong hộp và viết số trên vé. Quá trình viết số này chỉ phải tuân theo một quy tắc duy nhất: nó phải nhất quán. Trong ví dụ này, mỗi vé Dân chủ phải có chữ " đô la" được viết trên đó - không có ngoại lệ - và mỗi vé của đảng Cộng hòa phải có chữ " đô la" được viết trên đó.$d$$r$

Một biến ngẫu nhiên là bất kỳ cách nhất quán để viết số trên vé trong một hộp.

(Ký hiệu toán học cho điều này là đặt tên cho quá trình đánh số lại, điển hình là một chữ cái viết hoa chữ hoa như hoặc Thông tin nhận dạng được ghi trên vé thường được đặt tên bằng các chữ cái nhỏ, điển hình là ( chữ thường chữ Hy Lạp "omega "). Giá trị được liên kết bằng phương tiện của biến ngẫu nhiên với vé được ký hiệu là . Trong ví dụ, sau đó, chúng tôi có thể nói đôi khi như" là biến ngẫu nhiên đại diện cho thay đổi giá trị của khoản đầu tư . "Nó sẽ được chỉ định đầy đủ bằng cách nêu vàY ω X ω X ( ω ) X X ( D ) = d X ( R ) = r X X $X$$Y$$\omega$$X$$\omega$$X(\omega)$$X$$X(\text{D})=d$$X(\text{R}) = r$. Trong các trường hợp phức tạp hơn, các giá trị của được đưa ra bằng các mô tả phức tạp hơn và, thường, bằng các công thức. Chẳng hạn, vé có thể biểu thị giá đóng cửa của một cổ phiếu trong một năm và biến ngẫu nhiên có thể là giá trị tại một thời điểm cụ thể của một số công cụ phái sinh trên cổ phiếu đó, chẳng hạn như quyền chọn bán. Hợp đồng tùy chọn mô tả cách được tính toán. Tùy chọn thương nhân sử dụng chính xác loại mô hình này để định giá sản phẩm của họ.)$X$$X$$X$

$X$

$X$

Sau đó: về khả năng đo lường

Khi định nghĩa của biến ngẫu nhiên đi kèm với lời cảnh báo "có thể đo lường được", điều mà người trì hoãn nghĩ đến là sự khái quát hóa mô hình vé trong hộp cho các tình huống có vô số kết quả có thể xảy ra. (Về mặt kỹ thuật, nó là cần thiết chỉ với uncountably kết quả vô hạn hoặc nơi hợp lý xác suất có liên quan, và thậm chí trong trường hợp thứ hai có thể tránh được.) Với vô số kết quả rất khó để nói những gì các tỷ lệ của tổng số sẽ là. Nếu có vô số vé "D" và vô số vé "R", tỷ lệ tương đối của chúng là bao nhiêu? Chúng ta không thể tìm ra với sự phân chia đơn thuần của một vô cực khác!

Trong những trường hợp này, chúng ta cần một cách khác để xác định tỷ lệ. Một bộ vé "có thể đo lường" là bất kỳ bộ sưu tập vé nào trong hộp có thể xác định tỷ lệ của chúng. Khi điều này được thực hiện, con số chúng ta đã nghĩ là "tỷ lệ" được gọi là "xác suất". (Không phải mọi bộ sưu tập vé cần có xác suất liên quan đến nó.)

$X$$X(\omega)$$a$$b$$a$$b$

Một cách không chính thức, một biến ngẫu nhiên là một cách để gán mã số cho từng kết quả có thể. *

ví dụ 1

$\{H,T\}$

$X$$X(H)=1$$X(T)=0$$1$$0$

Ví dụ 2

Trong cầu, một con át có giá trị 4 điểm thẻ cao, vua 3, nữ hoàng 2 và jack 1. Bất kỳ thẻ nào khác đều có giá trị 0 điểm.

$Y$$Y\left(A♡ \right)=4$$Y\left(J♣ \right)=1$$Y\left(7♠ \right)=0$

$H$$T$$A♠$

* Chính thức một biến ngẫu nhiên là một hàm ánh xạ từng kết quả (trong không gian mẫu) thành một số thực.

Không giống như một biến thông thường, một biến ngẫu nhiên có thể không được thay thế cho một giá trị duy nhất, không thay đổi. Thay vì tính chất thống kê như phân phối của biến ngẫu nhiên có thể được công bố. Phân phối là một hàm cung cấp xác suất mà biến sẽ đảm nhận một giá trị nhất định hoặc nằm trong một phạm vi nhất định với các tham số nhất định như độ lệch trung bình hoặc độ lệch chuẩn.

Các biến ngẫu nhiên có thể được phân loại là rời rạc nếu phân phối mô tả các giá trị từ một tập hợp đếm được, chẳng hạn như các số nguyên. Phân loại khác cho một biến ngẫu nhiên là liên tục và được sử dụng nếu phân phối bao gồm các giá trị từ một tập hợp không đếm được, chẳng hạn như các số thực.

Tôi đã được kể câu chuyện này:

Một biến ngẫu nhiên có thể được so sánh với đế chế La Mã thần thánh: Đế chế La Mã thần thánh không phải là thánh, nó không phải là La Mã và nó không phải là một đế chế.

Theo cùng một cách, Biến ngẫu nhiên không phải là ngẫu nhiên, cũng không phải là biến. Nó chỉ là một chức năng. (câu chuyện đã được kể ở đây: nguồn ).

Đây ít nhất là một cách nhanh chóng để giải thích, có thể giúp mọi người ghi nhớ!

Từ Wikipedia :

Trong toán học (đặc biệt là lý thuyết xác suất và thống kê), một biến ngẫu nhiên (hay biến ngẫu nhiên) là (nói chung) là một hàm có thể đo được, ánh xạ một không gian xác suất vào một không gian có thể đo được. Các biến ngẫu nhiên ánh xạ tất cả các kết quả có thể có của một sự kiện vào các số thực thường được nghiên cứu trong các số liệu thống kê cơ bản và được sử dụng trong khoa học để đưa ra dự đoán dựa trên dữ liệu thu được từ các thí nghiệm khoa học. Ngoài các ứng dụng khoa học, các biến ngẫu nhiên đã được phát triển để phân tích các trò chơi may rủi và sự kiện ngẫu nhiên. Tiện ích của các biến ngẫu nhiên đến từ khả năng của họ chỉ nắm bắt các thuộc tính toán học cần thiết để trả lời các câu hỏi xác suất.

Từ cnx.org :

Một biến ngẫu nhiên là một hàm, nó gán các giá trị số duy nhất cho tất cả các kết quả có thể có của một thử nghiệm ngẫu nhiên trong các điều kiện cố định. Một biến ngẫu nhiên không phải là một biến mà là một hàm ánh xạ các sự kiện thành các số.

Một biến ngẫu nhiên, thường được ký hiệu là X, là một biến trong đó kết quả không chắc chắn. Việc quan sát một kết quả cụ thể của biến này được gọi là nhận thức. Cụ thể hơn, đó là một chức năng ánh xạ một không gian xác suất thành một không gian có thể đo được, thường được gọi là không gian trạng thái. Các biến ngẫu nhiên là rời rạc (có thể lấy một số giá trị riêng biệt) hoặc liên tục (có thể lấy vô số giá trị).

Xét biến ngẫu nhiên X là tổng số thu được khi lăn hai con xúc xắc. Nó có thể lấy bất kỳ giá trị nào trong 2-12 (với xác suất tương đương được đưa xúc xắc công bằng) và kết quả là không chắc chắn cho đến khi xúc xắc được tung ra.

Trong các nghiên cứu đại học phi toán học của tôi, chúng tôi đã nói rằng biến ngẫu nhiên là một bản đồ từ các giá trị mà biến có thể đưa đến xác suất. Điều này cho phép rút ra các phân phối xác suất

Gần đây, tôi đã nhận ra sự khác biệt như thế nào so với những gì các nhà toán học có trong tâm trí. Nó chỉ ra rằng bởi biến ngẫu nhiên, chúng có nghĩa là một hàm đơn giản X: → R, lấy một phần tử của không gian mẫu ( còn gọi là kết quả, vé hoặc cá nhân , như đã giải thích ở trên) và chuyển nó thành một số thực R trong phạm vi ( -∞, ∞). Đó là, nó đã được lưu ý ở trên rằng nó không phải là ngẫu nhiên và không có biến nào cả. Tính ngẫu nhiên thường đi kèm với thước đo xác suất P, như là một phần của không gian đo (Ω, P). P ánh xạ các mẫu thành R, tương tự như biến ngẫu nhiên nhưng phạm vi thời gian này giới hạn ở [0,1] và chúng ta có thể nói rằng biến ngẫu nhiên chuyển (Ω, P) thành (R, P), do đó, biến ngẫu nhiên được trang bị xác suất đo P: R -> [0,1] để bạn có thể nói với mọi x trong R thì xác suất xuất hiện của nó là bao nhiêu.

$\Omega$

tích phân không cần bất kỳ giá trị thực của biến ngẫu nhiên.