Điều gì có nghĩa là các cấp độ cao cấp của một chuỗi thời gian?

Trong phần lớn tài liệu tôi đang nghiên cứu, đó là một trong những thuật ngữ xảy ra thường xuyên mà không có định nghĩa chặt chẽ nào được tìm thấy. Cụ thể, tôi được bảo:

Đối với các biến ngẫu nhiên được lập chỉ mục thời gian (RVs) , mô hình phân rã phụ gia được đưa ra là $\{X_t\}$

$X_{t} = l l (X_{t - 1}, X_{t - 2}, \dots) + f c (X_{t - 1}, X_{t - 2}, \dots, ε_{t}, ε_{t - 1}, \dots)$ $X_t = {ll}(X_{t-1}, X_{t-2}, \ldots) + {fc}(X_{t-1}, X_{t-2}, \ldots, \varepsilon_t, \varepsilon_{t-1}, \ldots)$
Ở đâu

$ll$ là cấp độ dài hạn , là một quá trình ngẫu nhiên và có thể được hình dung như là một phiên bản được làm mịn của , không bị nhầm lẫn với các xu hướng là các mẫu xác định $\{X_t\}$

$fc$ là thành phần biến động đại diện cho những thay đổi ở cấp độ địa phương , giả định và với mức trung bình bằng không

$\{\varepsilon_t\}$ là những đổi mới và là RV không có nghĩa là IID

Nhưng sự khác biệt về ý nghĩa giữa xu hướng so với cấp dài hạn so với cấp địa phương so với cấp trung bình là gì?

Ngoài ra, không phải là thành phần biến động và đổi mới mô hình hóa cùng một thứ, đó là tiếng ồn liên quan đến mỗi quan sát? Vậy tại sao lại phức tạp hóa mọi thứ bằng cách bao gồm cả hai?

time-series definition

— mchen
nguồn

Điều này phải làm với thứ tự tích hợp . Một quy trình ngẫu nhiên được cho là được tích hợp theo thứ tự , tương đương ~ nếu nó đứng yên. Nếu ~ với , quá trình này được cho là được tích hợp trật tự và sau đó bất tĩnh. Sự phân tách ở trên cố gắng lọc ra các thành phần đứng yên (như thành phần biến động và đổi mới) và thành phần xu hướng ngẫu nhiên không cố định. Một xu hướng ngẫu nhiên khác với một $X_t$ $0$ $X_t$ $I(0)$ $X_t$ $I(d)$ $d>0, d \in \mathbb{N}$ $d$ xu hướng xác định , và việc sử dụng xu hướng từ trong đoạn văn là cẩu thả.

Bây giờ, điều này làm cho tất cả âm thanh phức tạp hơn nó. Hãy xem xét một ví dụ. Hãy ~ như một quá trình nhiễu trắng và để có . Xác định đa thức lag sau $\varepsilon_t$ $(0,\sigma^2)$ $\varepsilon_t$ $iid$

\begin{aligned} C_{1} (L) & = 0.5 L + 0.25 L^{2} - 0.75 L^{3} - 0.05 L^{4} \end{aligned}

$\begin{align} C_1(L) &= 0.5L + 0.25L^2 -0.75L^3 -0.05 L^4 \\ \end{align}$

Nhà điều hành lag hoạt động trên các biến ngẫu nhiên thời gian lập chỉ mục như . Giả sử bây giờ xa hơn rằng được tạo như $L$ $L^k\varepsilon:=\varepsilon_{t-k}$ $X_t$

\begin{aligned} X_{t} = X_{t - 1} + C_{1} (L) ε_{t} + ε_{t} \end{aligned}

$\begin{align} X_t = X_{t-1} + C_1(L)\varepsilon_t + \varepsilon_t \end{align}$

Sau đó, sử dụng các thuật ngữ từ trích dẫn của bạn, mức độ lâu dài sẽ được xác định bởi , các mùa thành phần / biến động bởi và những sáng kiến bởi . Như được mô tả trong đoạn trích, thành phần biến động và đổi mới là đứng yên. $X_{t-1}$ $C_1(L)\varepsilon_t$ $\varepsilon_t$

Lý do tại sao nó được gọi theo cách đó hơi khó nhìn mà không đưa ra nhận xét nào thêm và liên quan đến thứ tự tích hợp đã nói ở trên. Thông thường, chúng tôi không gặp phải các quy trình được tích hợp các đơn hàng cao hơn hoặc , vì vậy hãy xem xét ví dụ trên về đơn hàng tích hợp . $1$ $2$ $1$

Trước hết, xác định . là văn phòng phẩm, vì vậy ~ . Bây giờ chúng ta có thể viết $u_t := C_1(L)\varepsilon_t + \varepsilon_t$ $u_t$ $u_t$ $I(0)$ điều này cho chúng ta biết rằng~, vì sự khác biệt đầu tiên của nó được tích hợp theo thứ tự. Ý nghĩa của điều này có thể khó nắm bắt, cho đến khi người ta nhận raý nghĩa thực sự của. Nó có nghĩa là người ta có thể viết lại

\begin{aligned} X_{t} & = X_{t - 1} + u_{t} ⟺ \\ X_{t} - X_{t - 1} & = (1 - L) X_{t} = Δ X_{t} = u_{t} \end{aligned}

$\begin{align} X_t &= X_{t-1} + u_t \Longleftrightarrow\\ X_t - X_{t-1} &= (1-L)X_t = \Delta X_t = u_t \\ \end{align}$

X_{t}

$X_t$

I (1)

$I(1)$

0

$0$

Δ X_{t} = u_{t}

$\Delta X_t = u_t$

sức này không nhìn ấn tượng:

, sau khi tất cả! Tuy nhiên, sự thay đổi của quá trình này làkhônghữu hạn và bùng nổ đến

. Đây là lý do tại sao chúng tôi nói thuật ngữ này xác định xu hướng ngẫu nhiên: trong khi nó không mang tính quyết định (ví dụ như xu hướng tuyến tính),

sẽ chỉ đứng yên khi chúng tôi đã lọc ra thành phần không cố định và loại trừ nó khỏi

\begin{aligned} X_{t} & = \sum_{i = 1}^{\infty} Δ X_{t} = \sum_{i = 1}^{\infty} u_{t} \end{aligned}

$\begin{align} X_t &= \sum_{i=1}^{\infty} \Delta X_t = \sum_{i=1}^{\infty} u_t\\ \end{align}$

E (X_{t}) = 0

$\mathbb{E}(X_t) = 0$

\infty

$\infty$

X_{t}

$X_t$

X_{t}

$X_{t}$ . (Trong trường hợp này, như quan sát trước đây,

sẽ đã lọc ra những thành phần bất tĩnh và sẽ là cố định.) Nếu bạn không làm điều này , các quy trình suy luận thống kê thông thường của bạn không hoạt động nữa, vì

sẽ hội tụ thành một chuyển động màu nâu theo nguyên tắc bất biến / Định lý giới hạn trung tâm chức năng. Những kết quả này thay thế kết quả CLR tiêu chuẩn cho các lỗi tự động, các vấn đề về Cointegration, v.v.

Δ X_{t} = X_{t} - X_{t - 1} = C_{1} (L) ε_{t} + ε_{t}

$\Delta X_t = X_t - X_{t-1}=C_1(L)\varepsilon_t + \varepsilon_t$

X_{t}

$X_{t}$

— Jeremias K
nguồn