Tại sao hệ số tương quan giữa các biến ngẫu nhiên X và XY có xu hướng là 0,7

Lấy từ số liệu thống kê thực tế cho nghiên cứu y học nơi Douglas Altman viết ở trang 285:

... Với hai đại lượng bất kỳ X và Y, X sẽ tương quan với XY. Thật vậy, ngay cả khi X và Y là mẫu của các số ngẫu nhiên, chúng ta sẽ mong đợi mối tương quan của X và XY là 0,7

Tôi đã thử điều này trong R và có vẻ như là trường hợp:

x <- rnorm(1000000, 10, 2)
y <- rnorm(1000000, 10, 2)
cor(x, x-y)

xu <- sample(1:100, size = 1000000, replace = T)
yu <- sample(1:100, size = 1000000, replace = T)
cor(xu, xu-yu)

Tại sao vậy? Lý thuyết đằng sau điều này là gì?

Nếu và Y là không tương quan biến ngẫu nhiên với phương sai bằng σ 2 , sau đó chúng tôi có mà var ( X - Y $X$$Y$$\sigma^2$ Do đó,ρX,X-Y=cov(X,X-Y

$$\begin{align} \operatorname{var}(X-Y) &= \operatorname{var}(X) + \operatorname{var}(-Y)\\ &= \operatorname{var}(X) + \operatorname{var}(Y)\\ &=2\sigma^2,\\ \operatorname{cov}(X, X-Y) &= \operatorname{cov}(X,X) - \operatorname{cov}(X,Y) & \text{bilinearity of covariance operator}\\ &= \operatorname{var}(X) - 0 & 0 ~\text{because}~X ~\text{and}~ Y ~\text{are uncorrelated}\\ &= \sigma^2. \end{align}$$ Vì vậy, khi bạn tìm thấy Σ n i = 1 (xi- ˉ x )((xi-yi)-( ˉ x - ˉ y ) $$\rho_{X,X-Y} = \frac{\operatorname{cov}(X, X-Y)}{\sqrt{\operatorname{var}(X)\operatorname{var}(X-Y)}}= \frac{\sigma^2}{\sqrt{\sigma^2\cdot2\sigma^2}} = \frac{1}{\sqrt{2}}.$$ tương quan mẫu củaxvàx-ycho một tập dữ liệu lớn{(xi,yi):1≤i≤ $$\frac{\sum_{i=1}^n\left(x_i - \bar{x}\right) \left((x_i-y_i) - (\bar{x}-\bar{y})\right)}{ \sqrt{\sum_{i=1}^n\left(x_i - \bar{x}\right)^2 \sum_{i=1}^n\left((x_i-y_i) - (\bar{x}-\bar{y})\right)^2}}$$ $x$$x-y$ được rút ra từ một quần thể có các tính chất này, bao gồm "số ngẫu nhiên" là trường hợp đặc biệt, kết quả có xu hướng gần với giá trị tương quan dân số$\{(x_i,y_i)\colon 1 \leq i \leq n\}$$\frac{1}{\sqrt{2}} \approx 0.7071\ldots$

Một giải thích thống kê hình học.

$n$ $2$ $X$$Y$$X$$Y$

$X$$Y$$r=0$

$X$$Y$

$X-Y$$X+Y$

$X-Y$$X+Y$$\sqrt{2\sigma^2}$$X$$X-Y$$X+Y$$0.707...$

Tôi tin rằng cũng có một trực giác đơn giản dựa trên tính đối xứng ở đây. Do X và Y có cùng phân phối và có hiệp phương sai bằng 0, nên mối quan hệ của X ± Y với X sẽ "giải thích" một nửa biến thể trong X ± Y; nửa còn lại phải được giải thích bởi Y. Vậy R ² phải là 1/2, có nghĩa là R là 1 / √2 0,707.

Đây là một cách đơn giản để suy nghĩ về lý do tại sao có một mối tương quan ở đây.

Hãy tưởng tượng những gì diễn ra khi bạn trừ hai phân phối. Nếu giá trị của x thấp thì trung bình x - ysẽ là giá trị thấp hơn nếu giá trị của x cao. Khi x tăng thì x - ytăng, trung bình, và do đó, một mối tương quan tích cực.