Là kurtosis mẫu vô vọng thiên vị?

Tôi đang xem xét sự suy yếu mẫu của một biến ngẫu nhiên khá sai lệch và kết quả có vẻ không nhất quán. Để chỉ đơn giản là minh họa vấn đề, tôi đã xem xét sự suy yếu mẫu của một RV bình thường. Trong R (mà tôi đang dần học):

library(moments); 

samp_size = 2048;
n_trial = 4096;

kvals <- rep(NA,1,n_trial); #preallocate
for (iii in 1:n_trial) {
    kvals[iii] <- kurtosis(exp(rnorm(samp_size)));
}
print(summary(kvals));

Tóm tắt tôi nhận được là

   Min. 1st Qu.  Median    Mean 3rd Qu.    Max. 
  11.87   28.66   39.32   59.17   61.70 1302.00 

Theo Wikipedia , mức độ tổn thương cho RV thông thường này phải ở khoảng 114. Rõ ràng là sự suy yếu mẫu là sai lệch.

Thực hiện một số nghiên cứu tôi thấy rằng kurtosis mẫu bị sai lệch cho kích thước mẫu nhỏ. Tôi đã sử dụng công cụ ước tính 'G2' được cung cấp bởi e1071gói trong CRAN và nhận được kết quả rất giống với kích thước mẫu này.

Câu hỏi : điều nào sau đây mô tả những gì đang diễn ra:

1. Lỗi tiêu chuẩn của kurtosis mẫu đơn giản là rất lớn đối với RV này (mặc dù ước tính chung về sóng chuẩn của lỗi tiêu chuẩn là theo thứ tự ). Ngoài ra, tôi đã sử dụng quá ít mẫu (2048) trong nghiên cứu này.$1/\sqrt{n}$
2. Những triển khai của nhọn mẫu bị vấn đề số mà có thể được sửa chữa bằng cách ví dụ như phương pháp Terriberry của (theo cách tương tự mà phương pháp Welford của cho kết quả tốt hơn so với phương pháp ngây thơ cho đúng mẫu).
3. Tôi đã tính toán dân số không chính xác. (ouch)
4. Kurtosis mẫu vốn đã thiên vị và bạn không bao giờ có thể sửa nó cho các cỡ mẫu nhỏ như vậy.

Có một sự điều chỉnh sai lệch . Nó không lớn lắm. Tôi tin rằng phương sai lấy mẫu của kurtosis tỷ lệ thuận với thời điểm trung tâm thứ tám (!), Có thể là rất lớn đối với phân phối logic. Bạn sẽ cần hàng triệu thử nghiệm (hoặc nhiều hơn nữa) trong một mô phỏng để phát hiện sai lệch trừ khi CV nhỏ. (Vẽ biểu đồ các khoảng thời gian để xem chúng bị lệch một cách bất thường như thế nào.)

Kurtosis chính xác thực sự là khoảng 113.9364.

Theo kiểu R, có thể thuận tiện để đóng gói mô phỏng trong một hàm để bạn có thể dễ dàng sửa đổi kích thước mẫu hoặc số lượng thử nghiệm.

[Chỉ trên Phong cách R - @whuber đã trả lời Kurtsosis Q]

Điều này là một chút quá phức tạp để dính vào một bình luận. Đối với các vòng lặp đơn giản như vòng lặp bạn sử dụng, chúng ta có thể kết hợp đề xuất của @ whuber về việc đóng gói mô phỏng trong hàm với replicate()hàm. replicate()chăm sóc phân bổ và chạy vòng lặp cho bạn. Một ví dụ được đưa ra dưới đây:

require(moments)
foo <- function(size, trials, meanlog = 0, sdlog = 1) {
    replicate(trials,
              kurtosis(rlnorm(size, meanlog = meanlog, 
                              sdlog = sdlog)))
}

Chúng tôi sử dụng nó như thế này:

> set.seed(1)
> out <- foo(2048, 10000)
> summary(out)
   Min. 1st Qu.  Median    Mean 3rd Qu.    Max. 
  10.93   28.77   39.99   62.53   62.58 1557.00

Lưu ý rằng tôi sử dụng rlnorm()hàm để tạo biến ngẫu nhiên log-normal. Nó tương đương với exp(rnorm())trong vòng lặp của bạn nhưng sử dụng công cụ chính xác và chúng tôi cho phép chức năng của chúng tôi truyền các tham số do người dùng chỉ định của phân phối log-normal.

> set.seed(123)
> exp(rnorm(1))
[1] 0.5709374
> set.seed(123)
> rlnorm(1)
[1] 0.5709374