Phương sai của sản phẩm của nhiều biến ngẫu nhiên

Chúng tôi biết câu trả lời cho hai biến độc lập:

V a r (X Y) = E (X^{2} Y^{2}) - (E (X Y))^{2} = V a r (X) V a r (Y) + V a r (X) (E (Y))^{2} + V a r (Y) (E (X))^{2}

${\rm Var}(XY) = E(X^2Y^2) − (E(XY))^2={\rm Var}(X){\rm Var}(Y)+{\rm Var}(X)(E(Y))^2+{\rm Var}(Y)(E(X))^2$

Tuy nhiên, nếu chúng tôi lấy sản phẩm có nhiều hơn hai biến, , câu trả lời sẽ là gì về phương sai và giá trị dự kiến của mỗi biến? ${\rm Var}(X_1X_2 \cdots X_n)$

variance random-variable independence

— chết tiệt
nguồn

Vì là một biến ngẫu nhiên và (giả sử tất cả là độc lập), nó độc lập với , nên câu trả lời được lấy theo cách tự nhiên: không cần gì mới. Vì điều này có vẻ quá bí ẩn, kỹ thuật này không khác gì chỉ ra rằng vì bạn có thể thêm hai số bằng một máy tính, bạn có thể thêm số với cùng một máy tính chỉ bằng cách lặp lại.

X_{1} X_{2} \dots X_{n - 1}

$X_1X_2\cdots X_{n-1}$

X_{i}

$X_i$

X_{n}

$X_n$

n

$n$

— whuber

Bạn có thể viết ra một bằng chứng về phương trình hiển thị của bạn? Tôi tò mò muốn tìm hiểu những gì đã xảy ra với hạn mà nên cung cấp cho bạn một số thuật ngữ liên quan đến .

(E [X Y])^{2}

$(E[XY])^2$

cov (X, Y)

$\operatorname{cov}(X,Y)$

— Dilip Sarwate

@DilipSarwate, tôi nghi ngờ câu hỏi này mặc nhiên cho rằng và là độc lập. Công thức của OP là chính xác bất cứ khi nào cả đều không tương thích và không tương thích. Xem câu trả lời của tôi cho một câu hỏi liên quan ở đây .

X

$X$

Y

$Y$

X, Y

$X,Y$

X^{2}, Y^{2}

$X^2, Y^2$

— Macro

@Macro Tôi nhận thức rõ về những điểm mà bạn nêu ra. Điều tôi đã cố gắng để OP hiểu và / hoặc tự mình tìm ra là cho các biến ngẫu nhiên độc lập , giống như đơn giản hóa thành đơn giản hóa thành mà Tôi nghĩ là một cách trực tiếp hơn để đi đến kết quả cuối cùng hơn là phương pháp quy nạp mà whuber đã chỉ ra.

E [X^{2} Y^{2}]

$E[X^2Y^2]$

E [X^{2} Y^{2}] = E [X^{2}] E [Y^{2}] = (σ_{X}^{2} + μ_{X}^{2}) (σ_{Y}^{2} + μ_{Y}^{2}),

$E[X^2Y^2]=E[X^2]E[Y^2]=(\sigma_X^2+\mu_X^2)(\sigma_Y^2+\mu_Y^2),$

E [(X_{1} \dots X_{n})^{2}]

$E[(X_1\cdots X_n)^2]$

E [(X_{1} \dots X_{n})^{2}] = E [X_{1}^{2}] \dots E [X_{n}^{2}] = \prod_{i = 1}^{n} (σ_{X_{i}}^{2} + μ_{X_{i}}^{2})

$E[(X_1\cdots X_n)^2]=E[X_1^2]\cdots E[X_n^2]=\prod_{i=1}^n(\sigma_{X_i}^2+\mu_{X_i}^2)$

— Dilip Sarwate

@DilipSarwate, tốt đẹp. Tôi đề nghị bạn đăng nó như là một câu trả lời để tôi có thể nâng cao nó!

— Macro

$X_1, X_2, \cdots , X_n$

\begin{aligned} var (X_{1} \dots X_{n}) & = E [(X_{1} \dots X_{n})^{2}] - {(E [X_{1} \dots X_{n}])}^{2} \\ = E [X_{1}^{2} \dots X_{n}^{2}] - {(E [(X_{1}] \dots E [X_{n}])}^{2} \\ = E [X_{1}^{2}] \dots E [X_{n}^{2}] - (E [X_{1}])^{2} \dots (E [X_{n}])^{2} \\ = \prod_{i = 1}^{n} (var (X_{i}) + (E [X_{i}])^{2}) - \prod_{i = 1}^{n} {(E [X_{i}])}^{2} \end{aligned}

$\begin{align} \operatorname{var}(X_1\cdots X_n) &= E[(X_1\cdots X_n)^2]-\left(E[X_1\cdots X_n]\right)^2\\ &= E[X_1^2\cdots X_n^2]-\left(E[(X_1]\cdots E[X_n]\right)^2\\ &= E[X_1^2]\cdots E[X_n^2] - (E[X_1])^2\cdots (E[X_n])^2\\ &= \prod_{i=1}^n \left(\operatorname{var}(X_i)+(E[X_i])^2\right) - \prod_{i=1}^n \left(E[X_i]\right)^2 \end{align}$

n = 2

$n=2$

n = 2

$n=2$

X_{1}

$X_1$

X_{2}

$X_2$

X_{1}

$X_1$

X_{2}

$X_2$

X_{1}^{2}

$X_1^2$

X_{2}^{2}

$X_2^2$

n \geq 3

$n \geq 3$

— Dilip Sarwate
nguồn

cảm ơn rất nhiều! Tôi rất trân trọng điều này. Có, câu hỏi là cho các biến ngẫu nhiên độc lập.

— damla

X_{1} = X_{2} = \dots = X_{n} = X

$X_1=X_2=\cdots=X_n=X$

Tôi đã đăng câu hỏi trong một trang mới. Cảm ơn rất nhiều! stats.stackexchange.com/questions/53380/ Cách

— damla 26/03/13

n

$n$

3

$3$