Bài tập về nhà: Phân tích dữ liệu Bayes: Giải thưởng về cả hai tham số nhị thức

Sau đây là một vấn đề từ Phân tích dữ liệu Bayes lần 2 , trang. 97. Andrew Gelman đã không đưa giải pháp của nó vào hướng dẫn trên trang web của anh ấy và nó đã khiến tôi phát điên cả ngày. Nghĩa đen cả ngày.

Đối với một số dữ liệu , được mô hình hóa dưới dạng phân phối nhị thức với các tham số và xác suất , cả hai đều không xác định. Vấn đề đặt ra câu hỏi với thông tin này: (1) Đặt ưu tiên cho là khó, vì nó chỉ lấy số tự nhiên dương, do đó, nó được coi là , nơi \ mu là không rõ. (2) Để xác định trước (N, \ theta) , chúng ta có \ lambda = \ mu \ theta . (Logic ở đây là có thể dễ dàng hơn để hình thành trước khi xem xét kỳ vọng vô điều kiện của các quan sát, thay vì trung bình của N không quan sát được$y$$N$$\theta$$N$$\Pr(N|\mu) = Poisson(\mu)$$\mu$$(N, \theta)$$\lambda=\mu\theta$$N$.) (3) Một ưu tiên không phù hợp tiềm năng là $p(\lambda, \theta) \varpropto 1/\lambda$ .

Một phần của vấn đề mà tôi gặp phải là làm thế nào để biến đổi các biến và xác định $p(N, \theta)$ .

Cách tiếp cận mà tôi đã cố gắng là viết $p(N,\theta|\lambda)p(\lambda, \theta)$ và loại bỏ \ lambda không mong muốn $\lambda$thông qua tích hợp, đó là $p(N,\theta)=\int_0^\infty C\mu^N/(exp(\mu)\lambda N!)d\lambda$ và thay thế $\mu$ bằng mối quan hệ $\mu=\lambda/\theta$ . Cách tiếp cận này giảm xuống $p(N,\theta)=C/(N+1)$ , trong đó $C$ là hằng số tỷ lệ được giới thiệu từ (3).

Kết quả này liên quan đến tôi, bởi vì nó ngụ ý rằng xác suất chung của một số giá trị của $\theta$ và $N$ chỉ phụ thuộc vào $N$ , chứ không phụ thuộc vào $\theta$ . Hơn nữa, một số tiếng chuông mơ hồ đang vang lên từ phép tính đa biến khá khó hiểu của tôi, cố gắng nhắc nhở tôi về người Jacob và phối hợp các phép biến đổi, nhưng tôi không chắc rằng cách tiếp cận tích hợp này thậm chí còn phù hợp.

Tôi đánh giá cao sự giúp đỡ và hiểu biết của bạn.

Tôi đã làm tất cả các câu hỏi từ bốn chương đầu tiên sáu năm trước. Đây là những gì tôi có:

$p(\mu,\theta)\propto\left|\frac{\partial \lambda}{\partial \mu}\right|p(\lambda,\theta)=\mu^{-1}.$

Vì thế

$\begin{array}{lrl}p\left(N,\theta\right) & = & \int_{0}^{\infty}p\left(\mu,N,\theta\right)\mathrm{d}\mu\\ & = & \int_{0}^{\infty}p\left(\mu,\theta\right)\Pr\left(N\,|\,\mu\right)\mathrm{d}\mu\\ & \propto & \int_{0}^{\infty}\mu^{-1}\left(\frac{\mu^{N}}{N!}e^{-\mu}\right)\mathrm{d}\mu\\ & = & \frac{\left(N-1\right)!}{N!}=N^{-1}\end{array}$

Bạn không cần phải lo lắng rằng không phụ thuộc vào . Điều này chỉ có nghĩa là ưu tiên cho là đồng nhất trên , rất tuyệt vời cho tham số Bernoulli.$p(N,\theta)$$\theta$$\theta$$[0,1]$