Phương sai của hai biến ngẫu nhiên có trọng số

Để cho:

Độ lệch chuẩn của biến ngẫu nhiên$A =\sigma_{1}=5$

Độ lệch chuẩn của biến ngẫu nhiên$B=\sigma_{2}=4$

Khi đó phương sai của A + B là:

$Var(w_{1}A+w_{2}B)= w_{1}^{2}\sigma_{1}^{2}+w_{2}^{2}\sigma_{2}^{2} +2w_{1}w_{2}p_{1,2}\sigma_{1}\sigma_{2}$

Ở đâu:

$p_{1,2}$ là mối tương quan giữa hai biến ngẫu nhiên.

$w_{1}$ là trọng số của biến ngẫu nhiên A

$w_{2}$ là trọng số của biến ngẫu nhiên B

$w_{1}+w_{2}=1$

Hình dưới đây biểu thị phương sai của A và B khi trọng số của A thay đổi từ 0 thành 1, cho các mối tương quan -1 (vàng), 0 (xanh dương) và 1 (đỏ).

Làm thế nào công thức dẫn đến một đường thẳng (màu đỏ) khi tương quan là 1? Theo như tôi có thể nói, khi , công thức đơn giản hóa thành:$p_{1,2}=1$

$Var(w_{1}A+w_{2}B)= w_{1}^{2}\sigma_{1}^{2}+w_{2}^{2}\sigma_{2}^{2} +2w_{1}w_{2}\sigma_{1}\sigma_{2}$

Làm thế nào tôi có thể diễn đạt điều đó dưới dạng ?$y=mx+c$

Cảm ơn bạn.

Sử dụng , tính toán$w_1 + w_2 = 1$

$$\eqalign{ \text{Var}(w_1 A + w_2 B) &= \left( w_1 \sigma_1 + w_2 \sigma_2 \right)^2 \cr &= \left( w_1(\sigma_1 - \sigma_2) + \sigma_2 \right)^2 \text{.} }$$

Điều này cho thấy rằng khi , biểu đồ của phương sai so với (hiển thị sang một bên trong hình minh họa) là một parabola tập trung tại . Không có phần nào của parabola là tuyến tính. Với và , tâm nằm ở : dưới biểu đồ ở tỷ lệ được vẽ. Vì vậy, bạn đang nhìn vào một mảnh nhỏ của parabola, sẽ xuất hiện tuyến tính.$\sigma_1 \ne \sigma_2$$w_1$$\sigma_2 / (\sigma_2 - \sigma_1)$$\sigma_1 = 5$$\sigma_2 = 4$$-5$

Khi , phương sai là hàm tuyến tính của . Trong trường hợp này, cốt truyện sẽ là một đoạn thẳng đứng hoàn hảo.$\sigma_1 = \sigma_2$$w_1$

BTW, bạn đã biết câu trả lời này rồi, không cần tính toán, bởi vì các nguyên tắc cơ bản ngụ ý âm mưu của phương sai không thể là một dòng trừ khi nó là dọc. Rốt cuộc, không có sự cấm đoán toán học hay thống kê nào để hạn chế nằm trong khoảng từ đến : mọi giá trị của xác định một biến ngẫu nhiên mới (kết hợp tuyến tính của các biến ngẫu nhiên A và B) và do đó phải có giá trị không âm cho phương sai của nó. Do đó, tất cả các đường cong này (ngay cả khi được mở rộng đến phạm vi dọc của ) phải nằm ở bên phải của trục dọc. Điều đó loại trừ tất cả các dòng trừ những người dọc.$w_1$$0$$1$$w_1$ $w_1$

Âm mưu của phương sai cho :$\rho = 1 - 2^{-k}, k = -1, 0, 1, \ldots, 10$

Nó không tuyến tính. Công thức nói rằng nó không tuyến tính. Hãy tin vào bản năng toán học của bạn!

Nó chỉ xuất hiện tuyến tính trong biểu đồ vì tỷ lệ, với và . Hãy tự thử: tính toán độ dốc ở một vài nơi và bạn sẽ thấy chúng khác nhau. Bạn có thể phóng đại sự khác biệt bằng cách chọn , giả sử.$\sigma_{1}=5$$\sigma_{2}=4$$\sigma_{1}=37$

Đây là một số mã R:

a <- 5; b <- 4; p <- 1
f <- function(w) w^2*a^2 + (1-w)^2*b^2 + 2*w*(1-w)*p*a*b
curve(f, from = 0, to = 1)

Nếu bạn muốn kiểm tra một số độ dốc:

(f(0.5) - f(0.4)) / 0.1
(f(0.8) - f(0.7)) / 0.1