Giả thuyết NULL cho sự tương tác trong ANOVA hai chiều là gì?

20

Giả sử chúng ta có hai yếu tố (A và B), mỗi yếu tố có hai cấp độ (A1, A2 và B1, B2) và một biến trả lời (y).

Khi thực hiện ANOVA hai chiều của loại:

y~A+B+A*B

Chúng tôi đang thử nghiệm ba giả thuyết null:

Không có sự khác biệt về phương tiện của yếu tố A
Không có sự khác biệt về phương tiện của yếu tố B
Không có tương tác giữa các yếu tố A và B

Khi viết ra, hai giả thuyết đầu tiên rất dễ hình thành (với 1 đó là $H_0:\; \mu_{A1}=\mu_{A2}$ )

Nhưng giả thuyết 3 nên được xây dựng như thế nào?

chỉnh sửa : và làm thế nào nó sẽ được xây dựng cho trường hợp nhiều hơn hai cấp độ?

Cảm ơn.

hypothesis-testing anova

— Tal Galili
nguồn

3

Tôi không có uy tín để cho phép tôi để chỉnh sửa, nhưng tôi nghĩ rằng bạn muốn

H_{0} = μ_{A 1} = μ_{A 2}

$H_0 = \mu_{A1}=\mu_{A2}$ (hoặc

μ_{A_{1}}

$\mu_{A_1}$ nếu bạn muốn một subscript kép) [oops, nó đã tự động tex-ified rằng : H_0 = \mu_{A1}=\mu_{A2}hoặc \mu_{A_1}]

— Ben Bolker

1

Oups, không thấy rằng bạn đang sử dụng chữ in hoa để biểu thị tên yếu tố và cấp độ của chúng - hãy sửa nó (theo ký hiệu @Ben).

— chl

18

Tôi nghĩ điều quan trọng là phải phân tách rõ ràng giả thuyết và thử nghiệm tương ứng của nó. Đối với phần sau, tôi giả sử một thiết kế CRF- cân bằng, giữa các chủ thể (kích thước ô bằng nhau, ký hiệu của Kirk: Thiết kế nhân tố hoàn toàn ngẫu nhiên). $pq$

là quan sát trong việc điều trị của yếu tố và điều trị yếu tố với , và . Mô hình này là $Y_{ijk}$ $i$ $j$ $A$ $k$ $B$ $1 \leq i \leq n$ $1 \leq j \leq p$ $1 \leq k \leq q$ $Y_{ijk} = \mu_{jk} + \epsilon_{i(jk)}, \quad \epsilon_{i(jk)} \sim N(0, \sigma_{\epsilon}^2)$

Thiết kế: $\begin{array}{r|ccccc|l} ~ & B 1 & \ldots & B k & \ldots & B q & ~\\\hline A 1 & \mu_{11} & \ldots & \mu_{1k} & \ldots & \mu_{1q} & \mu_{1.}\\ \ldots & \ldots & \ldots & \ldots & \ldots & \ldots & \ldots\\ A j & \mu_{j1} & \ldots & \mu_{jk} & \ldots & \mu_{jq} & \mu_{j.}\\ \ldots & \ldots & \ldots & \ldots & \ldots & \ldots & \ldots\\ A p & \mu_{p1} & \ldots & \mu_{pk} & \ldots & \mu_{pq} & \mu_{p.}\\\hline ~ & \mu_{.1} & \ldots & \mu_{.k} & \ldots & \mu_{.q} & \mu \end{array}$

là giá trị mong đợi trong ô , là lỗi liên quan đến phép đo người trong ô đó. Các ký hiệu chỉ ra rằng chỉ số được cố định cho bất kỳ người nào cho bởi vì người đó được quan sát trong chỉ có một điều kiện. Một vài định nghĩa cho các hiệu ứng: $\mu_{jk}$ $jk$ $\epsilon_{i(jk)}$ $i$ $()$ $jk$ $i$

(giá trị kỳ vọng trung bình để điều trịcủa yếu tố) $\mu_{j.} = \frac{1}{q} \sum_{k=1}^{q} \mu_{jk}$ $j$ $A$

(giá trị kỳ vọng trung bình để điều trịyếu tố) $\mu_{.k} = \frac{1}{p} \sum_{j=1}^{p} \mu_{jk}$ $k$ $B$

(ảnh hưởng của điều trị của yếu tố , ) $\alpha_{j} = \mu_{j.} - \mu$ $j$ $A$ $\sum_{j=1}^{p} \alpha_{j} = 0$

(ảnh hưởng của điều trị yếu tố , ) $\beta_{k} = \mu_{.k} - \mu$ $k$ $B$ $\sum_{k=1}^{q} \beta_{k} = 0$

(hiệu ứng tương tác cho sự kết hợp điều trị của yếu tố với điều trị của yếu tố , $(\alpha \beta)_{jk} = \mu_{jk} - (\mu + \alpha_{j} + \beta_{k}) = \mu_{jk} - \mu_{j.} - \mu_{.k} + \mu$
$j$ $A$ $k$ $B$ $\sum_{j=1}^{p} (\alpha \beta)_{jk} = 0 \, \wedge \, \sum_{k=1}^{q} (\alpha \beta)_{jk} = 0)$

(tác dụng chính có điều kiện để điều trị của yếu tố trong điều trị cố định của yếu tố , $\alpha_{j}^{(k)} = \mu_{jk} - \mu_{.k}$
$j$ $A$ $k$ $B$ $\sum_{j=1}^{p} \alpha_{j}^{(k)} = 0 \, \wedge \, \frac{1}{q} \sum_{k=1}^{q} \alpha_{j}^{(k)} = \alpha_{j} \quad \forall \, j, k)$

$\beta_{k}^{(j)} = \mu_{jk} - \mu_{j.}$
$k$ $B$ $j$ $A$ , $\sum_{k=1}^{q} \beta_{k}^{(j)} = 0 \, \wedge \, \frac{1}{p} \sum_{j=1}^{p} \beta_{k}^{(j)} = \beta_{k} \quad \forall \, j, k)$

With these definitions, the model can also be written as: $Y_{ijk} = \mu + \alpha_{j} + \beta_{k} + (\alpha \beta)_{jk} + \epsilon_{i(jk)}$

This allows us to express the null hypothesis of no interaction in several equivalent ways:

$H_{0_{I}}: \sum_{j}\sum_{k} (\alpha \beta)^{2}_{jk} = 0$
(all individual interaction terms are $0$ , such that $\mu_{jk} = \mu + \alpha_{j} + \beta_{k} \, \forall j, k$ . This means that treatment effects of both factors - as defined above - are additive everywhere.)
$H_{0_{I}}: \alpha_{j}^{(k)} - \alpha_{j}^{(k')} = 0 \quad \forall \, j \, \wedge \, \forall \, k, k' \quad (k \neq k')$
(all conditional main effects for any treatment $j$ of factor $A$ are the same, and therefore equal $\alpha_{j}$ . This is essentially Dason's answer.)
$H_{0_{I}}: \beta_{k}^{(j)} - \beta_{k}^{(j')} = 0 \quad \forall \, j, j' \, \wedge \, \forall \, k \quad (j \neq j')$
(all conditional main effects for any treatment $k$ of factor $B$ are the same, and therefore equal $\beta_{k}$ .)
$H_{0_{I}}$ : In a diagramm which shows the expected values $\mu_{jk}$ with the levels of factor $A$ on the $x$ -axis and the levels of factor $B$ drawn as separate lines, the $q$ different lines are parallel.

— caracal
nguồn

1

A really impressive answer Caracal - thank you.

— Tal Galili

9

An interaction tells us that the levels of factor A have different effects based on what level of factor B you're applying. So we can test this through a linear contrast. Let C = (A1B1 - A1B2) - (A2B1 - A2B2) where A1B1 stands for the mean of the group that received A1 and B1 and so on. So here we're looking at A1B1 - A1B2 which is the effect that factor B is having when we're applying A1. If there is no interaction this should be the same as the effect B is having when we apply A2: A2B1 - A2B2. If those are the same then their difference should be 0 so we could use the tests:

$H_0: C = 0\quad\text{vs.}\quad H_A: C \neq 0.$

— Dason
nguồn

1

Thanks Dason, that helped. Also, after reading your reply, it suddenly became clear to me that I am not fully sure how this generalizes in case we are having more factors. Could you advise? Thanks again. Tal

— Tal Galili

2

You can test multiple contrasts simultaneously. So for example if A had three levels and B had 2 we could use the two contrasts: C1 = (A1B1 - A2B1) - (A2B1 - A2B2) and C2 = (A2B1 - A2B2) - (A3B1 - A3B2) and use a 2 degree of freedom test to simultaneously test if C1 = C2 = 0. It's also interesting to note that C2 could equally have been (A1B1 - A1B2) - (A3B1 - A3B2) and we would come up with the same thing.

— Dason

Hi @Dason: you seem to have multiple accounts. Could you please complete the form at stats.stackexchange.com/contact and request that they be merged? That will simplify your use of this site (and give you the combined net reputation of both accounts).

— whuber