Câu hỏi về chức năng tự động mẫu

Tôi đang đọc một cuốn sách phân tích chuỗi thời gian và công thức cho chế độ tự động mẫu được định nghĩa trong cuốn sách là:

\hat{γ} (h) = n^{- 1} \sum_{t = 1}^{n - h} (x_{t + h} - \bar{x}) (x_{t} - \bar{x})

$\widehat{\gamma}(h) = n^{-1}\displaystyle\sum_{t=1}^{n-h}(x_{t+h}-\bar{x})(x_t-\bar{x})$

với $\widehat{\gamma}(-h) = \widehat{\gamma}(h)\;$ cho $\;h = 0,1, ..., n-1$ . $\bar{x}$ là giá trị trung bình.

Ai đó có thể giải thích bằng trực giác tại sao chúng ta chia tổng cho $n$ mà không phải bằng $n-h$ ? Cuốn sách giải thích rằng điều này là do công thức trên là một hàm xác định không âm và vì vậy việc chia cho $n$ được ưu tiên, nhưng điều này không rõ ràng với tôi. Ai đó có thể chứng minh điều này hoặc đưa ra một ví dụ hoặc một cái gì đó?

Với tôi điều đầu tiên trực quan sẽ là chia cho $n-h$ . Đây có phải là một ước lượng không thiên vị hoặc thiên vị của autocovariance?

time-series probability mathematical-statistics

— jjepsuomi
nguồn

Nếu chuỗi thời gian của bạn chính xác là

x_{1}, x_{2}, \dots, x_{n}

$x_1, x_2, \ldots, x_n$ với tất cả các

khác

x_{i}

$x_i$ ,

i < 1

$i < 1$ hoặc

i > n

$i >n$ không xác định, thì tổng số nhất thiết phải dừng tại

t = n - h

$t=n-h$ khi

x_{t + h} = x_{n}

$x_{t+h}=x_n$ xảy ra trong tổng: số hạng tiếp theo (cho

t = n - h + 1

$t=n-h+1$ ) sẽ được bao gồm trong tổng sẽ có

x_{n - h + 1 + h} = x_{n + 1}

$x_{n-h+1+h}=x_{n+1}$ trong đó và

x_{n + 1}

$x_{n+1}$ không phải là một phần của mẫu.

— Dilip Sarwate

@Dilip Tôi không nghĩ đó là vấn đề: câu hỏi liên quan đến việc chia cho hay trong định nghĩa của .

n

$n$

n - h

$n-h$

\hat{γ}

$\hat{\gamma}$

— whuber

$\widehat{\gamma}$ được sử dụng để tạo ma trận hiệp phương sai: đã cho "lần" , ước tính hiệp phương sai của vectơ ngẫu nhiên (thu được từ trường ngẫu nhiên tại các thời điểm đó) là ma trận . Đối với nhiều vấn đề, chẳng hạn như dự đoán, điều quan trọng là tất cả các ma trận như vậy là không có giá trị. Là ma trận hiệp phương sai giả định, rõ ràng chúng không thể có bất kỳ giá trị riêng âm nào, tất cả chúng phải có giá trị dương. $t_1, t_2, \ldots, t_k$ $X_{t_1}, X_{t_2}, \ldots, X_{t_k}$ $\left(\widehat{\gamma}(t_i - t_j), 1 \le i, j \le k\right)$

Tình huống đơn giản nhất trong đó phân biệt giữa hai công thức

\hat{γ} (h) = n^{- 1} \sum_{t = 1}^{n - h} (x_{t + h} - \bar{x}) (x_{t} - \bar{x})

$\widehat{\gamma}(h) = n^{-1}\sum_{t=1}^{n-h}(x_{t+h}-\bar{x})(x_t-\bar{x})$

và

{\hat{γ}}_{0} (h) = (n - h)^{- 1} \sum_{t = 1}^{n - h} (x_{t + h} - \bar{x}) (x_{t} - \bar{x})

$\widehat{\gamma}_0(h) = (n-h)^{-1}\sum_{t=1}^{n-h}(x_{t+h}-\bar{x})(x_t-\bar{x})$

xuất hiện là khi có độ dài ; nói, . Với và , việc tính toán thật đơn giản $x$ $2$ $x = (0,1)$ $t_1=t$ $t_2 = t+1$

{\hat{γ}}_{0} = (\begin{array}{cc} \frac{1}{4} & - \frac{1}{4} \\ - \frac{1}{4} & \frac{1}{4} \end{array}),

$\widehat{\gamma}_0 = \left( \begin{array}{cc} \frac{1}{4} & -\frac{1}{4} \\ -\frac{1}{4} & \frac{1}{4} \end{array} \right),$

đó là số ít, trong khi

\hat{γ} = (\begin{array}{cc} \frac{1}{4} & - \frac{1}{8} \\ - \frac{1}{8} & \frac{1}{4} \end{array})

$\widehat{\gamma} = \left( \begin{array}{cc} \frac{1}{4} & -\frac{1}{8} \\ -\frac{1}{8} & \frac{1}{4} \end{array} \right)$

trong đó có giá trị riêng và , từ đó xác định là dương. $3/8$ $1/8$

Một hiện tượng tương tự xảy ra với , trong đó là xác định dương nhưng khi áp dụng cho thời gian , giả sử - suy biến thành ma trận hạng (các mục nhập của nó xen kẽ giữa và ). $x = (0,1,0,1)$ $\widehat{\gamma}$ $\widehat{\gamma}_0$ $t_i = (1,2,3,4)$ $1$ $1/4$ $-1/4$

(Có một mẫu ở đây: các vấn đề phát sinh cho bất kỳ của mẫu .) $x$ $(a,b,a,b,\ldots,a,b)$

Trong hầu hết các ứng dụng, chuỗi các quan sát dài đến mức đối với hầu hết quan tâm - ít hơn - sự khác biệt giữa và là không có kết quả. Vì vậy, trong thực tế, sự khác biệt không phải là vấn đề lớn và về mặt lý thuyết, nhu cầu về tính dứt khoát tích cực sẽ vượt qua mọi mong muốn có thể đối với các ước tính không thiên vị. $x_t$ $h$ $n$ $n^{-1}$ $(n-h)^{-1}$

— whuber
nguồn

Tôi nghĩ điều quan trọng cần lưu ý là cả hai công cụ ước tính đều là công cụ ước tính sai lệch, ngay cả khi bạn chia nó cho nh.

— Ran

@Ran Mặc dù bạn đúng rằng những người ước tính này thiên vị, tôi không đồng ý rằng đây là một vấn đề quan trọng: như đã đề cập trong đoạn cuối, một lượng nhỏ sai lệch là điều ít lo lắng nhất của bất kỳ ai. Công cụ ước tính không thiên vị, sử dụng , hiếm khi khác với hoặc .

(n - h - 1)^{- 1}

$(n-h-1)^{-1}$

\hat{γ}

$\widehat{\gamma}$

{\hat{γ}}_{0}

$\widehat{\gamma}_0$

— whuber

Câu trả lời rất hay +1. Có lẽ rất hữu ích khi thêm điểm , trong khi , do đó, khi gần với , công cụ ước tính có thể thất thường, trong khi sẽ có dao động lấy mẫu nhỏ đồng đều . Xem ví dụ Priestly (1981) "Phân tích quang phổ và chuỗi thời gian" p324 để thảo luận chi tiết về điểm này

V {\hat{γ}}_{0} (h) = O (1 / (n - h))

$\mathbb{V} \hat{\gamma}_0(h) = O(1/(n-h))$

V \hat{γ} (h) = O (1 / n)

$\mathbb{V} \hat{\gamma}(h) = O(1/n)$

h

$h$

n

$n$

{\hat{γ}}_{0} (h)

$\hat{\gamma}_0(h)$

\hat{γ} (h)

$\hat{\gamma}(h)$

\forall h

$\forall h$

— Colin T Bowers