Ý nghĩa của tương quan một phần

Từ Wikipedia

Chính thức, mối tương quan một phần giữa và đưa ra một tập hợp biến kiểm soát , được viết _ {XY · Z} , là mối tương quan giữa các phần dư RX và RY do hồi quy tuyến tính của X với Z và của Y với Z , tương ứng.$X$$Y$$n$$Z = \{Z_1, Z_2, …, Z_n\}$$ρ_{XY·Z}$$RX$$RY$$X$$Z$$Y$$Z$

1. Nó nói trước đó rằng

   tương quan một phần đo lường mức độ liên kết giữa hai biến ngẫu nhiên, với hiệu ứng của một tập hợp các biến ngẫu nhiên kiểm soát được loại bỏ.

   Tôi đã tự hỏi làm thế nào mối tương quan một phần $ρ_{XY·Z}$ có liên quan đến tương quan giữa điều kiện $X$ và $Y$ trên $Z$ ?

2. Có một trường hợp đặc biệt cho $n=1$ .

   Trong thực tế, mối tương quan một phần bậc một (tức là khi $n=1$ ) không có gì khác hơn là sự khác biệt giữa tương quan và tích của các tương quan có thể tháo rời được chia cho tích số của các hệ số của sự tương quan có thể tháo rời. Hệ số tha hóa, và mối quan hệ của nó với phương sai chung thông qua tương quan có sẵn trong Guilford (1973, trang 344 phản345).

   Tôi đã tự hỏi làm thế nào để viết ở trên toán học?

Lưu ý rằng tương quan có điều kiện trên là một biến phụ thuộc vào , trong khi tương quan một phần là một số duy nhất.$Z$$Z$

Hơn nữa, tương quan một phần được xác định dựa trên phần dư từ hồi quy tuyến tính. Do đó, nếu mối quan hệ thực tế là phi tuyến, mối tương quan từng phần có thể có được một giá trị khác nhau hơn so với tương quan có điều kiện, thậm chí nếu có điều kiện tương quan trên là một độc lập liên tục của . Mặt khác, nó là Gaussian đa biến, tương quan một phần bằng với tương quan có điều kiện.$Z$$Z$$X,Y,X$

Ví dụ: trong đó tương quan điều kiện không đổi tương quan một phần: Bất kể giá trị lấy là gì, tương quan có điều kiện sẽ là -1. Tuy nhiên, hồi quy tuyến tính , sẽ là hằng số 0, và do đó dư sẽ là giá trị , bản thân. Do đó, tương quan một phần bằng với tương quan giữa , ; không bằng -1, vì rõ ràng các biến không tương quan hoàn hảo nếu không biết$\neq$

$$Z\sim U(-1,1),~X=Z^2+e,~Y=Z^2-e,~e\sim N(0,1),e\perp Z.$$ $Z$$X|Z$$Y|Z$$X$$Y$$X$$Y$$Z$

Rõ ràng, Baba và Sibuya (2005) cho thấy sự tương đương của tương quan một phần và tương quan có điều kiện đối với một số phân phối khác bên cạnh Gaussian đa biến, nhưng tôi không đọc điều này.

Câu trả lời cho câu hỏi 2 của bạn dường như tồn tại trong bài viết Wikipedia, phương trình thứ hai trong Sử dụng công thức đệ quy .