Nếu A và B tương quan với C, tại sao A và B không nhất thiết phải tương quan?

Tôi biết thực tế đó là trường hợp. Tôi vừa phát triển các mô hình chạy vào câu hỏi hóc búa này. Tôi cũng nghi ngờ nó không nhất thiết là câu trả lời có / không. Ý tôi là nếu cả A và B tương quan với C, thì điều này có thể có một số hàm ý liên quan đến tương quan giữa A và B. Nhưng, hàm ý này có thể yếu. Nó có thể chỉ là một hướng dấu hiệu và không có gì khác.

Ý tôi là ... giả sử cả A và B đều có tương quan 0,5 với C. Do đó, tương quan giữa A và B hoàn toàn có thể là 1,0. Tôi nghĩ rằng nó cũng có thể là 0,5 hoặc thậm chí thấp hơn. Nhưng, tôi nghĩ không chắc là nó sẽ tiêu cực. Bạn có đồng ý với điều đó không?

Ngoài ra, có một hàm ý nếu bạn đang xem xét Hệ số tương quan Pearson tiêu chuẩn hoặc thay vào đó là Hệ số tương quan Spearman (xếp hạng)? Những quan sát thực nghiệm gần đây của tôi có liên quan đến Hệ số tương quan Spearman.

Bởi vì mối tương quan là một tính chất toán học của các phân phối đa biến, một số cái nhìn sâu sắc có thể hoàn toàn thông qua các tính toán, bất kể nguồn gốc thống kê của các phân phối đó.

Đối với hệ số tương quan Pearson , hãy xem xét các biến multinormal , Y , Z . Chúng rất hữu ích khi làm việc bởi vì bất kỳ ma trận xác định không âm nào thực sự là ma trận hiệp phương sai của một số phân phối đa thường, do đó giải quyết được câu hỏi tồn tại. Nếu chúng ta dính vào ma trận với 1 trên đường chéo, các mục ngoài đường chéo của ma trận hiệp phương sai sẽ là mối tương quan của chúng. Viết tương quan của X và$X$$Y$$Z$$1$$X$ là ρ , mối tương quan của Y và Z là τ , và mối tương quan của X và Z là$Y$$\rho$$Y$$Z$$\tau$$X$$Z$ , ta tính rằng$\sigma$

• (vì đây là yếu tố quyết định của ma trận tương quan và nó không thể là tiêu cực).$1 + 2 \rho \sigma \tau - \left(\rho^2 + \sigma^2 + \tau^2\right) \ge 0$

• Khi này ngụ ý rằng ρ 2$\sigma = 0$ . Nói cách khác: khi cả hai ρ và τ là lớn trong độ richter, X và Z phảicó mối tương quan khác không.$\rho^2 + \tau^2 \le 1$$\rho$$\tau$$X$$Z$

• Nếu , sau đó bất kỳ giá trị không âm của σ (giữa 0 và 1 dĩ nhiên) là có thể.$\rho^2 = \tau^2 = 1/2$$\sigma$$0$$1$

• Khi , giá trị âm của σ là cho phép. Ví dụ, khi ρ = $\rho^2 + \tau^2 \lt 1$$\sigma$ , σ có thể dao động giữa - 1 / 2 và 1 .$\rho = \tau = 1/2$$\sigma$$-1/2$$1$

Những cân nhắc này ngụ ý thực sự có một số hạn chế về mối tương quan lẫn nhau. Các ràng buộc (chỉ phụ thuộc vào độ chính xác không âm của ma trận tương quan, không phụ thuộc vào phân phối thực tế của các biến) có thể được thắt chặt tùy thuộc vào các giả định về phân phối đơn biến. Chẳng hạn, thật dễ dàng để thấy (và để chứng minh) rằng khi phân phối và Y không nằm trong gia đình vị trí quy mô tương tự, mối tương quan của họ phảinghiêm chỉnhít hơn 1 trong kích thước. (Chứng minh: mối tương quan của ± 1 ngụ ý X và Y có liên quan tuyến tính như)$X$$Y$$1$$\pm 1$$X$$Y$

Theo như tương quan xếp hạng Spearman , hãy xem xét ba quan sát tầm thường , ( 2 , 3 , 1 ) và ( 3 , 2 , 3 ) của ( X , Y , Z ) Y và$(1,1,2)$$(2,3,1)$$(3,2,3)$$(X, Y, Z)$ . Mối tương quan thứ hạng lẫn nhau của họ là , 1 / 2 , và - 1 / 2 . Do đó, ngay cả dấu hiệu của mối tương quan xếp hạng của$1/2$$1/2$$-1/2$$Y$ có thể là ngược lại trong những dấu hiệu của sự tương quan của X và Y và X và Z .$Z$$X$$Y$$X$$Z$

Tôi đang đi câu cá hàng năm ngay bây giờ. Có một mối tương quan giữa thời gian trong ngày tôi câu cá và lượng cá tôi bắt được. Cũng có mối tương quan giữa kích thước mồi tôi sử dụng và lượng cá tôi bắt được. Không có mối tương quan giữa kích thước của mồi và thời gian trong ngày.

Tương quan là cosin của góc giữa hai vectơ. Trong tình huống được mô tả, (A, B, C) là một bộ ba quan sát, được thực hiện n lần, mỗi lần quan sát là một số thực. Mối tương quan giữa A và B là cosin của góc giữa và V B = B - E ( B ) được đo trong không gian euclid n chiều. Vì vậy, tình hình của chúng tôi giảm xuống khi xem xét 3 vectơ V A , V $V_A=A-E(A)$$V_B=B-E(B)$$V_A$$V_B$ và $V_C$trong không gian n chiều. Chúng ta có 3 cặp vectơ và do đó 3 góc. Nếu hai trong số các góc nhỏ (tương quan cao) thì góc thứ ba cũng sẽ nhỏ. Nhưng để nói "tương quan" không có nhiều hạn chế: điều đó có nghĩa là góc nằm trong khoảng từ 0 đến . Nói chung, điều này không hạn chế ở góc thứ ba. Đặt nó theo một cách khác, bắt đầu với bất kỳ góc nhỏ hơn π giữa V A và V B (bất kỳ mối tương quan nào ngoại trừ -1). Cho V C chia đôi góc giữa V A và V $\pi/2$$\pi$$V_A$$V_B$$V_C$$V_A$$V_B$ . Khi đó C sẽ tương quan với cả A và B.

Là một phần bổ sung cho câu trả lời của người đánh bóng: Công thức được trình bày

$1 + 2 \rho \sigma \tau - \left(\rho^2 + \sigma^2 + \tau^2\right) \ge 0$ .

có thể được chuyển thành bất đẳng thức sau (Olkin, 1981):

$\sigma\tau - \sqrt{(1-\sigma^2)(1-\tau^2)} \le \rho \le \sigma\tau + \sqrt{(1-\sigma^2)(1-\tau^2)}$

Một biểu diễn đồ họa của giới hạn trên và dưới cho trông giống như:$\rho$

Olkin, I. (1981). Phạm vi giới hạn cho ma trận tương quan thời điểm sản phẩm. Tâm lý học, 46, 469-472. doi: 10.1007 / BF02293804

Tôi nghĩ tốt hơn là hỏi "tại sao NÊN họ có tương quan?" hoặc, có lẽ "Tại sao nên có bất kỳ mối tương quan cụ thể?"

Mã R sau đây cho thấy trường hợp x1 và x2 đều tương quan với Y, nhưng có 0 tương quan với nhau

x1 <- rnorm(100)
x2  <- rnorm(100)
y <- 3*x1 + 2*x2 + rnorm(100, 0, .3)

cor(x1,y)
cor(x2,y)
cor(x1,x2)

Mối tương quan với Y có thể được thực hiện mạnh mẽ hơn bằng cách giảm .3 xuống .1 hoặc bất cứ điều gì

Tôi sẽ để lại phần trình diễn thống kê cho những người phù hợp hơn tôi vì nó ... nhưng theo trực giác thì sự kiện A tạo ra một quá trình X góp phần tạo ra sự kiện C. Sau đó A tương quan với C (thông qua X). B, mặt khác tạo ra Y, cũng có hình dạng C. Do đó A tương quan với C, B tương quan với C nhưng A và B không tương quan.

Đối với những người muốn có một số trực giác, một mối tương quan có thể được coi là một cosin của một số góc độ. Vì vậy, hãy xem xét ba vectơ trong 3D, giả sử A, B và C, mỗi vectơ tương ứng với một biến. Câu hỏi là để xác định phạm vi các góc có thể có giữa A và C khi góc giữa A và B cũng như góc giữa B et C được biết đến. Vì thế, bạn có thể chơi với một công cụ trực tuyến mà không cần cài đặt bất kỳ phần mềm nào. Chỉ cần truy cập trang http://www.montefiore.ulg.ac.be/~pierard/chained_correlations.php

Hãy lấy một ví dụ:

A={x1,x2,x3,x4,x5,x6,x7,x8,x9}

B={x1,x2,x3,0,0,0,0,0,0}

C={0,0,0,x4,x5,x6,0,0,0}

Đối với một số x, A và B sẽ có mối tương quan đáng kể, tương tự A và C cũng sẽ có tương quan đáng kể nhưng tương quan của B và C sẽ không đáng kể.

Vì vậy, không nhất thiết là nếu A và B tương quan và A và C tương quan với nhau thì B và C cũng tương quan với nhau.

Lưu ý: Để hiểu sâu, xin vui lòng nghĩ ví dụ này trên dữ liệu lớn.