Bằng chứng về mối quan hệ giữa tỷ lệ nguy hiểm, mật độ xác suất, chức năng sống sót

Tôi đang đọc một chút về các phân tích sinh tồn và hầu hết các sách giáo khoa đều nói rằng

$h(t)= \lim_{ \Delta t \rightarrow 0} \frac{P(t < T \leq t+\Delta t |T \geq t )}{ \Delta t} =\frac{f(t)}{1-F(t)} (1)$

Trong đó $h(t)$ là tỷ lệ nguy hiểm,

$f(t)=\lim_{\Delta t \rightarrow 0} \frac{P(t < T \leq t+\Delta t)}{ \Delta t}(2)$ hàm mật độ,

$F(t)=Pr(T<t) (3)$ và

$S(t)=Pr(T>t)=1-F(t) (4)$

Họ cũng nói rằng

$S(t)= e^{- \int_0^t h(s)ds } (5)$

Hầu hết các sách giáo khoa (ít nhất là những cuốn tôi có) không cung cấp bằng chứng cho (1) hoặc (5). Tôi nghĩ rằng tôi đã xoay sở để vượt qua (1) như sau

$h(t)= \lim_{ \Delta t \rightarrow 0} \frac{P(t < T \leq t+\Delta t |T \geq t )}{ \Delta t}=$ $\lim_{ \Delta t \rightarrow 0} \frac{P(T \geq t |t < T \leq t+\Delta t ) P(t < T \leq t+\Delta t)}{ P(T \geq t)\Delta t}$ mà vì (2) và (4) trở thành $\lim_{ \Delta t \rightarrow 0} \frac{P(T \geq t |t < T \leq t+\Delta t )f(t)}{S(t)\Delta t}$ nhưng $P(T \geq t |t < T \leq t+\Delta t )=1$ do đó $h(t)=\frac{f(t)}{1-F(t)}$

Làm thế nào để chứng minh (5)?

Đạo hàm của là Do đó, như được đề cập bởi @ StéphaneLaurent, chúng tôi có trong đó đẳng thức cuối cùng theo sau (1).$S$

$$\frac{\mathrm{d}S(t)}{\mathrm{dt}} = \frac{\mathrm{d}(1 - F(t))}{\mathrm{dt}} = - \frac{\mathrm{d}F(t)}{\mathrm{dt}} = -f(t)$$ $$-\frac{\mathrm{d}\log(S(t))}{\mathrm{dt}} = \cfrac{-\frac{\mathrm{d}S(t)}{\mathrm{dt}}}{S(t)} = \frac{f(t)}{S(t)} = h(t)$$

Lấy tích phân cả hai mặt của mối quan hệ trước, chúng ta thu được sao cho

$$-\log(S(t)) = \int_0^t h(s) \, \mathrm{d}s$$ $$S(t) = \exp \left\{- \int_0^t h(s) \, \mathrm{d}s\right\}$$

Đây là phương trình của bạn (5). Phần không thể thiếu trong cấp số nhân là rủi ro tích hợp, còn được gọi là nguy cơ tích lũy [sao cho ].$H(t)$$S(t) = \exp(-H(t))$

$$h(t) = \frac{f(t)}{S(t)}\ $$ $$= \frac{f(t)}{1-F(t)}$$ $$= \frac{f(t)}{1- \int^t_0{f(s) ds}}$$

Tích hợp cả hai mặt: Phân biệt cả hai bên:

$$\int^t_0 h(s) ds = \int^t_0 \frac{f(s)}{1- \int^t_0{f(s)ds}}ds$$ $$= -\ln [1- \int^t_0{f(s)ds}]^t_0+ c$$ $$1- \int^t_0{f(s)ds} = \exp [-\int^t_0 h(s) ds]$$ $$-f(t) = -h(t) \exp[-\int^t_0 h(s) ds]$$ $$f(t) = h(t) \exp[-\int^t_0 h(s) ds]$$

Vì

$$h(t) = \frac{f(t)}{S(t)}$$

$$S(t) = \frac{f(t)}{h(t)}$$

Thay thế bằng , Do đó, $f(t)$$h(t) \exp[-\int^t_0 h(s) ds]$

$$S(t) = \frac{h(t) \exp[-\int^t_0 h(s) ds]}{h(t)}$$ $$S(t) = \exp[-\int^t_0 h(s) ds]$$

Chúng tôi chứng minh phương trình sau: bằng chứng:

$$S(t)=\exp\{-\int_{0}^{t}h(u)du\}$$

Trước tiên, chúng tôi chứng minh bằng chứng:

$$f(t)=-\frac{dS(t)}{dt}$$

$$f(t)=\frac{dF(t)}{dt}=\frac{dP(T<t)}{dt}=\frac{d(1-S(t))}{dt}=-\frac{dS(t)}{dt}\ \blacksquare$$ Và chúng ta biết Thay thế vào chúng ta có sau đó tiếp tục bằng chứng chính của chúng tôi. Bằng cách tích hợp cả hai mặt của phương trình trên, chúng ta có Sau đó, chúng tôi nhận được kết quả $$h(t)=\frac{f(t)}{S(t)}$$ $f(t)$$h(t)$ $$h(t)=\frac{-\frac{dS(t)}{dt}}{S(t)}$$ $$\int_0^th(u)du=\int_0^t\frac{-\frac{dS(t)}{dt}}{S(t)}dt=\int_0^t-S(t)^{-1}dS(t)\\ =-[\log S(t)-\log S(0)]=-\log S(t)$$ $$S(t)=\exp\{-\int_0^th(u)du\}\ \blacksquare$$