Sản phẩm của hai biến ngẫu nhiên độc lập

Tôi có một mẫu khoảng 1000 giá trị. Những dữ liệu thu được từ các sản phẩm của hai biến ngẫu nhiên độc lập $\xi \ast \psi$ . Biến ngẫu nhiên đầu tiên có phân phối đồng đều $\xi \sim U(0,1)$ . Sự phân phối của biến ngẫu nhiên thứ hai không được biết đến. Làm thế nào tôi có thể ước tính phân phối của biến ngẫu nhiên thứ hai ( $\psi$ )?

probability distributions mathematical-statistics

— Andy
nguồn

Đây là phiên bản của vấn đề được gọi là vấn đề giải mã: nếu bạn chuyển sang nhật ký của sản phẩm, bạn sẽ nhận được phân phối ước tính của tổng khi bạn biết phân phối một trong các điều khoản. Kiểm tra trên wikipedia .

— Tây An

Xem thêm câu hỏi liên quan này trên crossvalidated: một khi bạn áp dụng biến đổi nhật ký, vấn đề là tương đương.

— Tây An

@ Tây An: Liên kết đẹp. Tôi chắc chắn hy vọng rằng

gần như chắc chắn ... mặc dù chúng ta có thể phục hồi từ một sự vi phạm dường như gây tử vong của tình trạng này bằng cách phân hủy như

và xem xét các mảnh riêng biệt.

ψ \geq 0

$\psi \geq 0$

ψ = ψ_{+} - ψ_{-}

$\psi = \psi_{+} - \psi_{-}$

— Đức hồng y

@cardinal Tôi tò mò về cách xử lý vấn đề ước tính khi một số dữ liệu có thể âm tính. Làm thế nào là phân hủy được xác định? (Phương pháp trực quan gán dữ liệu ít hơn

để một thành phần và dữ liệu lớn hơn

khác ngoại hình tối ưu với tôi bởi vì chập với mũ sẽ có xu hướng chuyển sang các giá trị đến từ các

thành phần vào quan sát tích cực tương đối lớn.) Có vẻ thay vì giống như trình ước tính đồng thời phải xử lý việc xác định hỗn hợp và quá trình giải mã - và điều đó có vẻ khó thực hiện.

1

$1$

1

$1$

ψ_{-}

$\psi_{-}$

— whuber

@Cardinal cảm ơn đã giải thích. Không, không tiếng ồn: bởi vì tôi đã suy nghĩ về logarit, tôi đã chỉ đơn giản là quên rằng

là không âm.

ξ

$\xi$

— whuber

Chúng tôi có, Giả sử đã hỗ trợ trên dòng thực dương, $\psi$ đâu và là sự phân bố thực nghiệm của dữ liệu. Lấy nhật ký của phương trình này, chúng tôi nhận được,

ξ ψ = X

$\xi \,\psi = X$

X \sim F_{n}

$X \sim F_n$

F_{n}

$F_n$

L o g (ξ) + L o g (ψ) = L o g (X)

$Log(\xi) + Log(\psi) = Log(X)$

Do đó bởi lý tính liên tục Levy, và Independance của và dùng các chức năng charactersitic: $\xi$ $\psi$

Ψ_{L o g (ξ)} (t) Ψ_{L o g (ψ)} (t) = Ψ_{L o g (X)}

$\Psi_{Log(\xi)}(t)\Psi_{Log(\psi)}(t) = \Psi_{Log(X)}$

Bây giờ, Do đó, $\xi\sim Unif[0,1]$ $, therefore$ $-Log(\xi) \sim Exp(1)$

Ψ_{L o g (ξ)} (- t) = {(1 + i t)}^{- 1}

$\Psi_{Log(\xi)}(-t)= \left(1 + it\right)^{-1}\,$

Cho rằng $\Psi_{ln(X)} =\frac{1}{n}\sum_{k=1}^{1000}\exp(itX_k) ,$ $X_1 ... X_{1000}$ $\ln(X)$

$Log(\psi)$

{(1 + i t)}^{- 1} Ψ_{L o g (ψ)} (t) = \frac{1}{n} \sum_{k = 1}^{1000} \exp (i t X_{k})

$\left(1 + it\right)^{-1}\,\Psi_{Log(\psi)}(t) = \frac{1}{n}\sum_{k=1}^{1000}\exp(itX_k)$

$\ln(\psi)$ $t<1$

M_{L o g (ψ)} (t) = \frac{1}{n} \sum_{k = 1}^{1000} \exp (- t X_{k}) (1 - t)

$M_{Log(\psi)}(t) = \frac{1}{n}\sum_{k=1}^{1000}\exp(-t\,X_k)\,\left(1 - t\right)\,$

$ln(\phi)$ $\phi$

— Drmanifold
nguồn

bạn có thể giải thích điều này với một ví dụ trong R?

— Andy

Tất nhiên. Tôi sẽ cố gắng đăng nó vào ngày mai.

— Drmanifold