Bổ đề Neyman-Pearson có thể áp dụng cho trường hợp khi null đơn giản và thay thế không thuộc cùng một họ phân phối không?

1. Bổ đề Neyman-Pearson có thể áp dụng cho trường hợp khi một null đơn giản và một thay thế đơn giản không thuộc cùng một họ phân phối không? Từ bằng chứng của nó, tôi không thấy lý do tại sao nó không thể.

   Ví dụ, khi null đơn giản là phân phối bình thường và thay thế đơn giản là phân phối theo cấp số nhân.

2. Kiểm tra tỷ lệ khả năng có phải là một cách tốt để kiểm tra null tổng hợp so với thay thế tổng hợp khi cả hai thuộc về các họ phân phối khác nhau không?

Cảm ơn và trân trọng!

Có Neyman Pearson Lemma có thể áp dụng cho trường hợp khi null đơn giản và thay thế đơn giản không thuộc cùng một họ phân phối.

Hãy để chúng tôi muốn xây dựng một bài kiểm tra Hầu hết các Mạnh mẽ (MP) của chống lại H 1 : X ~ Exp ( 1 ) kích thước của nó.$H_0:X\sim N(0,1)$$H_1 : X\sim \text{Exp}(1)$

Đối với một cụ thể , chức năng quan trọng của chúng tôi bởi bổ đề Neyman Pearson là$k$

$$\phi(x) =\begin{cases} 1,&\dfrac{f_1(x)}{f_0(x)}>k \\0, &\text{Otherwise} \end{cases}$$

là phép thử MP của so với H 1 về kích thước của nó.$H_0$$H_1$

Ở đây

$$r(x)=\dfrac{f_1(x)}{f_0(x)}=\dfrac{e^{\displaystyle -x}}{\frac{1}{\sqrt{2 \pi}}e^{\displaystyle -x^2/2}}=\sqrt{2 \pi}\,\,e^{\displaystyle \left(\frac{x^2} 2-x\right)}$$

Lưu ý rằng Bây giờ nếu bạn vẽ hình củar(x)[Tôi không biết cách tạo Ảnh trong câu trả lời], từ biểu đồ sẽ rõ ràng rằngr(x)>

$$r'(x) =\sqrt{2 \pi}\,\,e^{\displaystyle \left(\frac{x^2} 2-x\right)}(x-1)\\ \begin{cases}<0 ,& x<1\\>0 ,& x>1 \end{cases}$$ $r(x)$ .$r(x)>k \implies x>c$

Vì vậy, đối với một particualr ϕ ( x ) = { 1 , x > c 0 , Mặt khác là phép thử MP của H o so với H 1 về kích thước của nó.$c$

$$\phi(x) =\begin{cases} 1,&x>c \\0, &\text{Otherwise} \end{cases}$$ $H_o$$H_1$

Bạn có thể kiểm tra

• 1. so vớiH1:X∼Cauchy(0,1$H_0:X\sim N(0,\dfrac{1}{2})$$H_1:X\sim \text{Cauchy}(0,1)$
  2. $H_0:X\sim N(0,1)$$H_1:X\sim \text{Cauchy}(0,1)$
  3. $H_0:X\sim N(0,1)$$H_1:X\sim \text{Double Exponential}(0,1)$

Bổ đề của Neyman Pearson.

$\mathbb{\theta}$

Đó là tất cả từ tôi.

Quý 2 Tỷ lệ khả năng là một thống kê kiểm tra đủ hợp lý nhưng (a) Bổ đề Neyman-Pearson không áp dụng cho các giả thuyết tổng hợp, vì vậy LRT sẽ nhất thiết phải mạnh nhất; & (b) Định lý Wilks chỉ áp dụng cho các giả thuyết lồng nhau, vì vậy trừ khi một gia đình là trường hợp đặc biệt của gia đình khác (ví dụ hàm mũ / Weibull, Poisson / nhị phân âm), bạn không biết phân phối tỷ lệ khả năng theo null, thậm chí không có triệu chứng.

1. $\alpha$$\phi$$\phi$$\alpha^\mathrm{th}$$H_0$$H_1$

2. Bài báo gốc của Neyman & Pearson cũng thảo luận về các giả thuyết tổng hợp. Trong một số trường hợp, câu trả lời rất đơn giản - nếu có sự lựa chọn phân phối cụ thể trong mỗi gia đình có tỷ lệ khả năng là bảo thủ khi áp dụng cho cả gia đình. Đây là những gì thường xảy ra, ví dụ, cho các giả thuyết lồng nhau. Thật dễ dàng để điều này không xảy ra, mặc dù; bài viết này của Cox thảo luận về những gì cần làm hơn nữa. Tôi nghĩ rằng một cách tiếp cận hiện đại hơn ở đây sẽ là tiếp cận nó theo cách Bayes, bằng cách đưa các linh mục qua hai gia đình.