Đặt ưu tiên cho tham số nồng độ trong quy trình Dirichlet

Hầu hết đây là nền tảng, bỏ qua đến cuối nếu bạn đã biết đủ về hỗn hợp quy trình Dirichlet . Giả sử tôi đang mô hình hóa một số dữ liệu là đến từ một hỗn hợp của các quá trình Dirichlet, tức là chúng ta hãy và có điều kiện trên F giả Y i i i d ~ ∫ f ( y | θ ) F ( d θ ) $F \sim \mathcal D(\alpha H)$$F$

$$Y_i \stackrel {iid}{\sim} \int f(y | \theta) F(d\theta).$$

Ở đây và α H là số đo cơ sở trước. Nó chỉ ra rằng nếu cho mỗi quan sát Y i , nếu tôi biết liên quan đến tiềm ẩn θ i , khả năng của α trong mô hình này là L ( α | t ) α α t Γ ( α $\alpha > 0$$\alpha H$$Y_i$$\theta_i$$\alpha$ nơitlà số giá trị khác biệt củaθi(biện pháp ngẫu nhiênFlà rời rạc gần như chắc chắn). Escobar và Westphát triển sơ đồ sau để lấy mẫuαbằng cách sử dụng Gamma trước; đầu tiên, họ viếtπ(α|t)απ(α)αtΓ(α

$$L(\alpha | t) \propto \frac{\alpha^t\Gamma(\alpha)}{\Gamma(\alpha + n)}$$ $t$$\theta_i$$F$$\alpha$ nơi B ( ⋅ , ⋅ ) là chức năng beta. Sau đó, lưu ý rằng nếu chúng tôi giới thiệu một tham số tiềm ẩn X ∼ Beta ( α + 1 , n $$\pi(\alpha | t) \propto \pi(\alpha) \frac{\alpha^t\Gamma(\alpha)}{\Gamma(\alpha + n)} \propto \pi(\alpha)\alpha^{t - 1}(\alpha + n){B(\alpha + 1, n)} \\= \pi(\alpha)\alpha^{t - 1} (\alpha + n) \int_0^1 x^\alpha(1 - x)^{n - 1} \ dx,$$ $B(\cdot, \cdot)$$X \sim \mbox{Beta}(\alpha + 1, n )$ sau đó khả năng có dạng hỗn hợp các phân phối Gamma và sử dụng điều này để viết ra một bộ lấy mẫu Gibbs.

$$L(\alpha | t) \propto \frac{\alpha^t \Gamma(\alpha)}{\Gamma(\alpha + n)} = \frac{\alpha^t \Gamma(n)\Gamma(\alpha)}{\Gamma(\alpha + n)\Gamma(n)} = \alpha^t B(\alpha, n) \Gamma(n) \\ \propto \alpha^t \int_0 ^ 1 x^{\alpha - 1} (1 - x)^{n - 1} \ dx,$$ $X \sim \mbox{Beta}(\alpha, n)$

$\alpha$$a$$a / b$

$$\pi(\alpha | t) \propto \alpha^{a + t - 2} (\alpha + n) e^{-b\alpha} \int_0 ^ 1 x^{\alpha} (1 - x)^{n - 1} \ dx$$ $X$ $$\pi(\alpha, x | t) \propto \alpha^{a + t - 2} (\alpha + n) e^{-b\alpha}x^{\alpha}(1 - x)^{n - 1}.$$ $\mbox{Beta}(\alpha + 1, n)$$X$$\mathcal G(a + t, b - \log(x))$$\mathcal G(a + t - 1, b - \log(x))$$\alpha$

$\mbox{Beta}(\alpha, n)$$X$$\mathcal G(a + t, b - \log(x))$$\alpha$

Tôi không thấy những gì bạn viết về cơ bản khác với Escobar và West.

$$\begin{eqnarray*} \pi(\alpha|t) &\propto& \pi(\alpha)\pi(t|\alpha) = \pi(\alpha)L(\alpha|t) \\ &\propto& \pi(\alpha)\alpha^t\frac{\Gamma(\alpha)}{\Gamma(\alpha+n)} \\ &\propto& \pi(\alpha)\alpha^t\frac{\Gamma(\alpha)\Gamma(n)}{\Gamma(\alpha+n)} \\ &=& \pi(\alpha)\alpha^tB(\alpha,n) \\ &=& \pi(\alpha)\alpha^{t-1}(\alpha+n)B(\alpha+1,n) \end{eqnarray*}$$ $$\begin{eqnarray*} \alpha B(\alpha,n) &=& \alpha \frac{\Gamma(\alpha)\Gamma(n)}{\Gamma(\alpha + n)} = \frac{(\alpha\Gamma(\alpha))\Gamma(n)(\alpha+n)}{(\Gamma(\alpha + n)(\alpha+n))} = (\alpha+n) \frac{\Gamma(\alpha + 1)\Gamma(n)}{\Gamma(\alpha + n + 1)} \\ &=& (\alpha+n)B(\alpha+1,n) \end{eqnarray*}$$ $\Gamma(z+1) = z\Gamma(z)$

Tôi đoán rằng họ thích công thức của họ hơn công thức của bạn vì nó chỉ có thuật ngữ chức năng Beta, không phải là sản phẩm của Beta và Gamma, nhưng tôi có thể sai. Tôi không hoàn toàn làm theo bit cuối cùng bạn đã viết, bạn có thể nói rõ hơn về sơ đồ lấy mẫu của mình không?