Tại sao kiểm soát FDR ít nghiêm ngặt hơn kiểm soát FWER?

Tôi đã đọc rằng kiểm soát FDR ít nghiêm ngặt hơn so với kiểm soát FWER, chẳng hạn như trong Wikipedia :

Các quy trình kiểm soát FDR thực hiện kiểm soát ít nghiêm ngặt hơn đối với phát hiện sai so với các quy trình tỷ lệ lỗi gia đình (FWER) (chẳng hạn như hiệu chỉnh Bonferroni). Điều này làm tăng sức mạnh với chi phí tăng tỷ lệ lỗi loại I, nghĩa là bác bỏ giả thuyết khống không có tác dụng khi cần chấp nhận.

Nhưng tôi đã tự hỏi làm thế nào nó được hiển thị là đúng sự thật về mặt toán học?

Có một số mối quan hệ giữa FDR và FWER?

hypothesis-testing multiple-comparisons false-discovery-rate

— Tim
nguồn

Bạn đã đọc bài báo gốc? Đó là hầu hết mọi thứ người ta có thể hy vọng trong một bài viết thống kê: Một ý tưởng cơ bản duy nhất, một câu chuyện rõ ràng và súc tích để kể, một ví dụ hữu ích và bằng chứng chính xác (ngắn!).

— Đức Hồng Y

Thật vậy, @cardinal hoàn toàn đúng khi bài báo rõ ràng như vậy. Vì vậy, đối với những gì đáng giá, trong trường hợp bạn không có quyền truy cập vào bài báo, đây là một phiên bản được xây dựng hơi phức tạp về cách mà Stewamini Tấn Hochberg lập luận:

FDR là giá trị dự kiến của tỷ lệ từ chối sai cho tất cả các từ chối . Bây giờ, rõ ràng là tổng của các từ chối sai và đúng; gọi sau . $Q_e$ $v$ $r$ $r$ $s$

Tóm lại, (sử dụng chữ in hoa cho các biến ngẫu nhiên và chữ thường cho các giá trị nhận ra),

Q_{e} = E (\frac{V}{R}) = E (\frac{V}{V + S}) =: E (Q) .

$Q_e=E\left(\frac{V}{R}\right)=E\left(\frac{V}{V+S}\right)=:E\left(Q\right).$

Người ta lấy nếu . $Q=0$ $R=0$

Bây giờ, có hai khả năng: hoặc tất cả null đều đúng hoặc chỉ trong số chúng là đúng. Trong trường hợp đầu tiên, không thể có từ chối chính xác, vì vậy . Do đó, nếu có bất kỳ sự từ chối nào ( ), , nếu không thì . Vì thế, $m$ $m_0<m$ $r=v$ $r\geq 1$ $q=1$ $q=0$

F D R = E (Q) = 1 \cdot P (Q = 1) + 0 \cdot P (Q = 0) = P (Q = 1) = P (V \geq 1) = F W E R

$\newcommand{\FDR}{\mathrm{FDR}}\newcommand{\FWER}{\mathrm{FWER}}\FDR=E(Q)=1\cdot P(Q=1)+0\cdot P(Q=0)=P(Q=1)=P(V \geq 1)=\FWER$

Vì vậy, trong trường hợp này, sao cho bất kỳ thủ tục nào kiểm soát một cách tầm thường cũng kiểm soát và ngược lại. $\FDR=\FWER$ $\FDR$ $\FWER$

Trong trường hợp thứ hai, trong đó , nếu (vì vậy nếu có ít nhất một từ chối false), chúng tôi rõ ràng là có (điều này là một phần nhỏ với cũng ở mẫu số) mà . Điều này ngụ ý rằng các chỉ số chức năng mà có giá trị 1 nếu có ít nhất một từ chối sai, sẽ không bao giờ ít hơn , . Bây giờ, hãy kỳ vọng vào một trong hai phía của bất đẳng thức, bởi tính đơn điệu của $m_0<m$ $v>0$ $v$ $v/r\leq 1$ $\mathbf 1_{V\geq 1}$ $Q$ $\mathbf 1_{V\geq 1}\geq Q$ $E$ giữ nguyên bất đẳng thức,

E (1_{V \geq 1}) \geq E (Q) = F D R

$E(\mathbf 1_{V\geq 1})\geq E(Q)=\FDR$

Giá trị kỳ vọng của một chức năng chỉ là xác suất của sự kiện trong chỉ số, chúng ta có , trong đó một lần nữa là . $E(\mathbf 1_{V\geq 1})=P(V\geq 1)$ $\FWER$

Do đó, khi chúng ta có một thủ tục điều khiển theo nghĩa là , chúng ta phải có . $\FWER$ $\FWER\leq \alpha$ $\FDR\leq\alpha$

Ngược lại, có điều khiển ở một số có thể đi kèm với lớn hơn đáng kể . Theo trực giác, chấp nhận một phần không mong muốn của các từ chối sai ( ) trong tổng số các giả thuyết được kiểm tra có thể có nghĩa là xác suất rất cao của ít nhất một từ chối sai ( ). $\FDR$ $\alpha$ $\FWER$ $\FDR$ $\FWER$

Vì vậy, một quy trình phải ít nghiêm ngặt hơn khi chỉ muốn điều khiển , điều này cũng tốt cho sức mạnh. Đây là ý tưởng giống như trong bất kỳ thử nghiệm giả thuyết cơ bản nào: khi bạn kiểm tra ở mức 5%, bạn từ chối thường xuyên hơn (cả null chính xác và sai) so với khi kiểm tra ở mức 1% đơn giản chỉ vì bạn có giá trị tới hạn nhỏ hơn. $\FDR$

— Christoph Hanck
nguồn

(+1) Giải trình tốt. Rõ ràng, trong trường hợp đầu tiên, chúng ta cũng có thể nói điều khiển FWER ngụ ý điều khiển FDR (đây là vấn đề được đề cập). Ngoài ra, có thể đáng để chỉ ra rằng tài sản này không có giả định phân phối (ví dụ: tính độc lập) trên các thống kê kiểm tra, không giống như quy trình được đưa ra trong bài báo gốc để kiểm soát FDR.

— Đức Hồng Y