Phương sai của sản phẩm của k biến ngẫu nhiên tương quan

Phương sai của sản phẩm của $k$ biến ngẫu nhiên tương quan là gì?

Nhiều thông tin về chủ đề này hơn bạn có thể yêu cầu có thể được tìm thấy trong Goodman (1962): "Phương sai của sản phẩm của các biến ngẫu nhiên K" , đưa ra các công thức cho cả hai biến ngẫu nhiên độc lập và các biến ngẫu nhiên có khả năng tương quan, cùng với một số xấp xỉ. Trong một bài báo trước đó ( Goodman, 1960 ), công thức cho sản phẩm của chính xác hai biến ngẫu nhiên đã được rút ra, điều này có phần đơn giản hơn (mặc dù vẫn khá sởn gai ốc), vì vậy đó có thể là một nơi tốt hơn để bắt đầu nếu bạn muốn hiểu về đạo hàm .

Đối với sự đầy đủ, mặc dù, nó đi như thế này.

Hai biến

Giả sử như sau:

• và y là hai biến ngẫu nhiên$x$$y$
• và Y là những kỳ vọng (khác không) của họ$X$$Y$
• và V ( y ) là phương sai của chúng$V(x)$$V(y)$
• (và tương tự như vậy cho δ y )$\delta_x = (x-X)/X$$\delta_y$
• $D_{i,j} = E \left[ (\delta_x)^i (\delta_y)^j\right]$
• (và tương tự như vậy đối với Δ y )$\Delta_x = x-X$$\Delta_y$
• $E_{i,j} = E\left[(\Delta_x)^i (\Delta_y)^j\right]$
• là hệ số biến đổi bình phương: V ( x ) $G(x)$ (tương tự cho G ( Y ) )$V(x)/X^2$$G(Y)$

Khi đó: hoặc tương đương:

$$V(xy) = (XY)^2[G(y) + G(x) + 2D_{1,1} + 2D_{1,2} + 2D_{2,1} + D_{2,2} - D_{1,1}^2]$$

$$V(xy) = X^2V(y) + Y^2V(x) + 2XYE_{1,1} + 2XE_{1,2} + 2YE_{2,1} + E_{2,2} - E_{1,1}^2$$

Nhiều hơn hai biến

Bài báo năm 1960 cho thấy đây là một bài tập cho người đọc (dường như đã thúc đẩy bài báo năm 1962!).

Ký hiệu tương tự, với một vài phần mở rộng:

• là biến ngẫu nhiên thay vì x và$(x_1, x_2, \ldots x_n)$$x$$y$
• $M = E\left( \prod_{i=1}^k x_i \right)$
• $A = \left(M / \prod_{i=1}^k X_i\right) - 1$
• = 0, 1 hoặc 2 cho i $s_i$$i = 1, 2, \ldots k$
• = số lượng 1 trong ( s 1 , s $u$$(s_1, s_2, \ldots s_k)$
• = số lượng 2 giây trong ( s 1 , s $m$$(s_1, s_2, \ldots s_k)$
• với m = 0 và 2 $D(u,m) = 2^u - 2$$m=0$$2^u$ với ,$m>1$
• $C(s_1, s_2, \ldots, s_k) = D(u,m) \cdot E \left( \prod_{i=1}^k \delta_{x_i}^{s_i} \right)$
• chỉ ra tổng của 3 k - k - 1 bộ ( s 1 , s 2 , ... s k ) nơi 2 m + u > $\sum_{s_1 \cdots s_k}$$3^k - k -1$$(s_1, s_2, \ldots s_k)$$2m + u > 1$

Sau đó, cuối cùng:

$$V\left(\prod_{i=1}^k x_i\right) = \prod X_i^2 \left( \sum_{s_1 \cdots s_k} C(s_1, s_2 \ldots s_k) - A^2\right)$$

Xem các giấy tờ để biết chi tiết và xấp xỉ dễ dàng hơn một chút!

Chỉ để thêm vào câu trả lời tuyệt vời của Matt Krause (trên thực tế dễ dàng có được từ đó). Nếu x, y độc lập thì,

$$\begin{equation*} \begin{split} E_{1,1} &= E[(x-E[x])(y-E[y])] = Cov(x,y) = 0\\ E_{1,2} &= E[(x-E[x])(y-E[y])^2] \\ &= E[x-E(x)]E[(y-E[y])^2] \\ &= (E[x]-E[x])E[(y-E[y])^2]=0\\ E_{2,1} &= 0\\ E_{2,2} &= E[(x-E[x])^2(y-E[y])^2]\\ &= E[(x-E[x])^2]E[(y-E[y])^2\\ &= V[x]V[y]\\ V[xy] &= E[x]^2 V[y] + E[y]^2 V[x] + V[x]V[y] \end{split} \end{equation*}$$

In addition to the general formula given by Matt it may be worth noting that there is a somewhat more explicit formula for zero mean Gaussian random variables. It follows from Isserlis' theorem, see also Higher moments for the centered multivariate normal distribution.

Suppose that $(x_1, \ldots, x_k)$ follows a multivariate normal distribution with mean 0 and covariance matrix $\Sigma$. If the number of variables $k$ is odd, $E\left(\prod_i x_i\right) = 0$ and

$$V\left(\prod_i x_i\right) = E\left( \prod_i x_i^2\right) = \sum \prod \tilde{\Sigma}_{i,j}$$ where $\Sigma \prod$ means sum over all partitions of $\{1, \ldots, 2k\}$ into $k$ disjoint pairs $\{i, j\}$ with each term being a product of the corresponding $k$ $\tilde{\Sigma}_{i,j}$'s, and where $$\tilde{\Sigma} = \left( \begin{array}{cc} \Sigma & \Sigma \\ \Sigma & \Sigma \end{array} \right)$$ is the covariance matrix for $(x_1, \ldots, x_k, x_1, \ldots, x_k)$. If $k$ is even, $$V\left(\prod_i x_i\right) = \sum \prod \tilde{\Sigma}_{i,j} - \left(\sum \prod \Sigma_{i,j}\right)^2.$$ In the case $k = 2$ we get $$V(x_1x_2) = \Sigma_{1,1} \Sigma_{2,2} + 2 (\Sigma_{1,2})^2 - \Sigma_{1,2}^2 = \Sigma_{1,1} \Sigma_{2,2} + (\Sigma_{1,2})^2.$$ If $k = 3$ we get $$V(x_1x_2x_3) = \sum \Sigma_{i,j}\Sigma_{k,l}\Sigma_{r,t},$$ where there are 15 terms in the sum.

It is, in fact, possible to implement the general formula. The most difficult part appears to be the computation of the required partitions. In R, this can be done with the function setparts from the package partitions. Using this package it was no problem to generate the 2,027,025 partitions for $k = 8$, the 34,459,425 partitions for $k = 9$ could also be generated, but not the 654,729,075 partitions for $k = 10$ (on my 16 GB laptop).

A couple of other things are worth noting. First, for Gaussian variables with non-zero mean it should be possible to derive an expression as well from Isserlis' theorem. Second, it is unclear (to me) if the above formula is robust against deviations from normality, that is, if it can be used as an approximation even if the variables are not multivariate normally distributed. Third, though the formulas above are correct, it is questionable how much the variance tells about the distribution of the products. Even for $k = 2$ the distribution of the product is quite leptokurtic, and for larger $k$ it quickly becomes extremely leptokurtic.