Có phải thử nghiệm t và ANOVA một chiều cả hai thử nghiệm Wald?

Thử nghiệm t để kiểm tra xem giá trị trung bình của mẫu phân phối bình thường có bằng hằng số được gọi là thử nghiệm Wald hay không, bằng cách ước tính độ lệch chuẩn của mẫu có nghĩa là thông tin của ngư dân về phân phối bình thường tại trung bình mẫu. Nhưng thống kê kiểm tra trong bài kiểm tra t có phân phối t của sinh viên, trong khi bài kiểm tra tính trung thực trong bài kiểm tra Wald không có triệu chứng có phân phối chi bình phương. Tôi tự hỏi làm thế nào để giải thích điều đó?

Trong ANOVA một chiều, thống kê kiểm tra được định nghĩa là tỷ lệ giữa phương sai giữa lớp và phương sai trong lớp. Tôi đã tự hỏi nếu nó cũng là một bài kiểm tra Wald? Nhưng thống kê kiểm tra trong ANOVA một chiều có phân phối F và thống kê kiểm tra trong kiểm tra Wald không có triệu chứng có phân phối chi bình phương. Tôi tự hỏi làm thế nào để giải thích điều đó?

Cảm ơn và trân trọng!

Hãy xem xét các thiết lập sau. Chúng tôi có một vectơ tham số hai chiều chỉ định mô hình hoàn toàn và một công cụ ước tính khả năng tối đa . Thông tin Fisher trong được ký hiệu là . Những gì thường được gọi là thống kê Wald làθ θ θ tôi ( θ $p$$\theta$$\hat{\theta}$$\theta$$I(\theta)$

$$(\hat{\theta} - \theta)^T I(\hat{\theta}) (\hat{\theta} - \theta)$$

trong đó là thông tin Fisher được đánh giá trong công cụ ước tính khả năng tối đa. Trong các điều kiện đều đặn, thống kê Wald tuân theo một cách không có triệu chứng một phân phối với -degrees tự do khi là tham số thực. Thống kê Wald có thể được sử dụng để kiểm tra một giả thuyết đơn giản trên toàn bộ vectơ tham số.χ 2 p θ H 0 : θ = θ $I(\hat{\theta})$$\chi^2$$p$$\theta$$H_0 : \theta = \theta_0$

Với thông tin Fisher nghịch đảo thống kê kiểm tra Wald của giả thuyết là Phân phối tiệm cận của nó là một phân phối với 1 bậc tự do. H 0 : θ 1 = θ 0 , 1 ( θ 1 - θ 0 , 1 ) $\Sigma(\theta) = I(\theta)^{-1}$$H_0 : \theta_1 = \theta_{0,1}$χ

$$\frac{(\hat{\theta}_1 - \theta_{0,1})^2}{\Sigma(\hat{\theta})_{ii}}.$$ $\chi^2$

Đối với mô hình bình thường trong đó là vectơ của các tham số trung bình và phương sai, thống kê kiểm tra Wald của kiểm tra nếu là với cỡ mẫu. Ở đây là công cụ ước tính khả năng tối đa của (nơi bạn chia cho ). Các -test Thống kê là nơi là ước lượng không thiên vị của phương sai (nơi bạn chia cho ) . Thống kê kiểm tra Wald gần như nhưng không chính xác bằng bình phương củaμ = μ 0 n ( μ - μ 0 ) $\theta = (\mu, \sigma^2)$$\mu = \mu_0$nσ2σ2nt

$$\frac{n(\hat{\mu} - \mu_0)^2}{\hat{\sigma}^2}$$ $n$$\hat{\sigma}^2$$\sigma^2$$n$$t$ s2n-1tn→∞tF(1,n-1)χ2n→ $$\frac{\sqrt{n}(\hat{\mu} - \mu_0)}{s}$$ $s^2$$n-1$$t$thống kê -test, nhưng chúng tương đương với nhau khi . Thống kê bình phương test có phân phối chính xác , hội tụ đến phân phối với 1 bậc tự do cho .$n \to \infty$$t$$F(1, n-1)$$\chi^2$$n \to \infty$

Câu chuyện tương tự cũng liên quan đến -test trong ANOVA một chiều.$F$

@NRH đã đưa ra một câu trả lời lý thuyết tốt, đây là một câu có ý định đơn giản hơn, trực quan hơn.

Có thử nghiệm Wald chính thức (được mô tả trong câu trả lời của NRH), nhưng chúng tôi cũng đề cập đến các thử nghiệm xem xét sự khác biệt giữa một tham số ước tính và giá trị giả định của nó so với biến thể ước tính ở tham số ước tính là thử nghiệm kiểu Wald. Vì vậy, bài kiểm tra t như chúng ta thường sử dụng là bài kiểm tra Phong cách Wald ngay cả khi nó hơi khác so với bài kiểm tra Wald chính xác (sự khác biệt của so vớin - $n$$n-1$bên trong một căn bậc hai). Chúng tôi thậm chí có thể thiết kế một bài kiểm tra kiểu Wald dựa trên ước tính trung bình trừ đi trung vị giả thuyết được chia cho một chức năng của IQR, nhưng tôi không biết phân phối nào sẽ theo sau, tốt hơn là sử dụng bootstrap, hoán vị hoặc mô phỏng phân phối cho thử nghiệm này thay vì phụ thuộc vào tiệm cận chi bình phương. Kiểm tra F cho ANOVA cũng phù hợp với mẫu chung, tử số có thể được coi là đo lường sự khác biệt của phương tiện từ một giá trị trung bình tổng thể và mẫu số là thước đo của biến thể.

Cũng lưu ý rằng nếu bạn bình phương một biến ngẫu nhiên theo sau phân phối thì nó sẽ theo phân phối F với 1 df cho tử số và mẫu số df sẽ là các biến từ phân phối t. Cũng lưu ý rằng phân phối F với mẫu số vô hạn df là phân phối chi bình phương. Vì vậy, điều đó có nghĩa là cả thống kê t (bình phương) và thống kê F đều bình phương chi bình phương giống như thống kê Wald. Chúng tôi chỉ sử dụng phân phối chính xác hơn trong thực tế.