Điều kiện tồn tại của ma trận thông tin Fisher

Các sách giáo khoa khác nhau trích dẫn các điều kiện khác nhau cho sự tồn tại của ma trận thông tin Fisher. Một số điều kiện như vậy được liệt kê dưới đây, mỗi điều kiện xuất hiện trong một số, nhưng không phải tất cả, các định nghĩa về "Ma trận thông tin Fisher".

1. Có một điều kiện tiêu chuẩn, tối thiểu?
2. Trong số 5 điều kiện dưới đây, có thể được thực hiện với?
3. Nếu một trong những điều kiện có thể được giải quyết, tại sao bạn lại nghĩ nó được đưa vào vị trí đầu tiên?
4. Nếu một trong những điều kiện không thể được giải quyết, điều đó có nghĩa là những cuốn sách giáo khoa không chỉ định nó đã đưa ra một định nghĩa sai, hoặc ít nhất là một định nghĩa không đầy đủ?

1. Zacks, Lý thuyết suy luận thống kê (1971), tr. 194.
   Ma trận là xác định dương cho tất cả . θ ∈ $\mathcal{I}\left(\theta\right)$$\theta\in\Theta$
2. Schervish, Lý thuyết thống kê (1997, sửa. In lần thứ 2), Định nghĩa 2,78, tr. 111
   Tập giống nhau cho tất cả . $C=\left\{x:f\left(x;\theta\right)>0\right\}$$\theta$
3. Borovkov, Thống kê toán học (1998). tr. 147 là liên tục vi wrt .
   $f\left(x;\theta\right)$$\theta_i$
4. Borovkov, Thống kê toán học (1998). tr. 147 là liên tục và không thể đảo ngược.
   $\mathcal{I}\left(\theta\right)$
5. Gourieroux & Monfort, Mô hình thống kê và kinh tế lượng, Vol I (1995). Định nghĩa (a), trang 81-82 tồn tại
   $\frac{\partial^2}{\partial\theta_i\partial\theta_j}f\left(x;\theta\right)$

Để so sánh, đây là danh sách đầy đủ các điều kiện trong Lehman & Cassella. Lý thuyết ước tính điểm (1998). tr. 124 :

1. $\Theta$ là một khoảng mở (hữu hạn, vô hạn hoặc bán vô hạn)
2. Tập giống nhau cho tất cả . θ ∈ $C=\left\{x:f\left(x,\theta\right)>0\right\}$$\theta\in\Theta$
3. $\frac{\partial f\left(x;\theta\right)}{\partial\theta_i}$ tồn tại và là hữu hạn.

Và đây là danh sách đầy đủ các điều kiện trong Barra, Notions fondaturales de statistique mathematique (1971). Định nghĩa 1, tr. 35 :

Các điểm được định nghĩa cho tất cả , mỗi thành phần của nó là hình vuông khả tích và có thể thiếu . $\theta\in\Theta$$=0$

Thật thú vị khi lưu ý rằng cả Lehman & Cassella và Barra đều không quy định rằng có thể phân biệt được dưới dấu tích phân tách mỗi , a điều kiện xảy ra trong hầu hết các sách giáo khoa khác tôi đã khảo sát. $\int f\left(x;\theta\right)\space \mu\left(dx\right)$$\theta_i$

Tôi không có quyền truy cập vào tất cả các tài liệu tham khảo, nhưng tôi muốn chỉ ra một vài nhận xét về một số điểm của bạn:

• Borovkov, Thống kê toán học (1998). tr. 140 đưa ra một giả định khác, Điều kiện (R), khá mạnh. Điều kiện này giả định rằng . Sau đó, về cơ bản, tác giả giả định rằng mỗi mục nhập của ma trận thông tin Fisher (FIM) được xác định rõ.$E[(\partial\log f(x;\theta)/\partial\theta)^2]<\infty$

• Sự khác biệt kép và khả năng trao đổi của các giả định toán tử tích phân và vi phân được sử dụng để suy ra đẳng thức . Sự bình đẳng này thường hữu ích, nhưng không thực sự cần thiết.$E[(\partial\log f(x;\theta)/\partial\theta)^2]=-E[\partial^2\log f(x;\theta)/\partial\theta^2]$

• Rất khó để thiết lập các điều kiện chung cho sự tồn tại của FIM mà không loại bỏ một số mô hình mà FIM thực sự tồn tại. Ví dụ, điều kiện khác biệt không phải là điều kiện cần thiết cho sự tồn tại của FIM. Một ví dụ về điều này là mô hình lũy thừa kép hoặc Laplace. FIM tương ứng được xác định rõ, nhưng mật độ không thể phân biệt gấp đôi ở chế độ. Một số mô hình khác đôi khi khác biệt có FIM có hành vi xấu và yêu cầu một số điều kiện bổ sung (xem bài viết này ).

Có thể đưa ra các điều kiện đủ chung chung, nhưng chúng có thể quá nghiêm ngặt. Các điều kiện cần thiết cho sự tồn tại của FIM chưa được nghiên cứu đầy đủ. Sau đó, câu trả lời cho câu hỏi đầu tiên của bạn có thể không đơn giản.