Tích hợp Monte Carlo cho các chức năng tích hợp không vuông

Tôi hy vọng đây là nơi thích hợp để hỏi, nếu không cảm thấy thoải mái để chuyển nó đến một diễn đàn phù hợp hơn.

Bây giờ tôi đã tự hỏi làm thế nào để xử lý các chức năng có thể tích hợp không vuông với Tích hợp Monte Carlo. Tôi biết rằng MC vẫn đưa ra một ước tính thích hợp nhưng lỗi là không thể thực hiện được (phân kỳ?) Cho các loại chức năng đó.

Chúng ta hãy hạn chế chúng ta theo một chiều. Tích hợp Monte Carlo có nghĩa là chúng ta xấp xỉ tích phân

I = \int_{0}^{1} d x f (x)

$I = \int_0^1 \mathrm{d}x \, f(x)$

sử dụng ước tính

E = \frac{1}{N} \sum_{i = 1}^{N} f (x_{i})

$E = \frac{1}{N} \sum_{i=1}^N f(x_i)$

với điểm ngẫu nhiên phân bố đồng đều. Luật pháp của một số lượng lớn đảm bảo rằng . Phương sai mẫu $x_i \in [0,1]$ $E \approx I$

S^{2} = \frac{1}{N - 1} \sum_{i = 1}^{N} (f (x_{i}) - E)^{2}

$S^2 = \frac{1}{N-1} \sum_{i=1}^N (f (x_i) - E)^2$

xấp xỉ phương sai của phân phối gây ra bởi . Tuy nhiên, nếu không thể tích hợp bình phương, nghĩa là tích phân của hàm bình phương phân kỳ, điều này ngụ ý $\sigma^2$ $f$ $f$

σ^{2} = \int_{0}^{1} d x {(f (x) - I)}^{2} = \int_{0}^{1} d x f^{2} (x) - I^{2} ⟶ \infty

$\sigma^2 = \int_0^1 \mathrm{d} x \, \left( f(x) - I \right)^2 = \int_0^1 \mathrm{d} x \, f^2(x) - I^2 \longrightarrow \infty$

có nghĩa là cũng phân kỳ phương sai.

Một ví dụ đơn giản là hàm

f (x) = \frac{1}{\sqrt{x}}

$f(x) = \frac{1}{\sqrt{x}}$

trong đó và . $I = \int_0^1 \mathrm{d}x \, \frac{1}{\sqrt{x}} = 2$ $\sigma^2 = \int_0^1 \mathrm{d}x \, \left( \frac{1}{x} - 2 \right) = \left[ \ln x - 2x \right]_0^1 \rightarrow \infty$

Nếu là hữu hạn, người ta có thể tính gần đúng lỗi của trung bình bởi , nhưng nếu không thể tích hợp vuông? $\sigma^2$ $E$ $\frac{S}{\sqrt{N}} \approx \frac{\sigma}{\sqrt{N}}$ $f(x)$

monte-carlo numerical-integration

— cschwan
nguồn

Tôi không hiểu điều đó: bạn bắt đầu bằng cách lưu ý rằng không ai trong số có phương sai và sau đó hỏi liệu phương sai trung bình của họ có phải là một ước lượng hợp lý của - phương sai không tồn tại đó! Hoặc tôi đã đọc sai câu hỏi này: có lẽ bởi "ước lượng độc lập thống kê", bạn có một số ước tính khác nhau (có lẽ là mạnh mẽ) của tích phân trong tâm trí?

E_{i}

$E_i$

— whuber

Tôi không nói rằng không có phương sai, chỉ là tôi không thể xác định phương sai cho nó bằng . Vì vậy, câu hỏi là liệu tôi có thể xác định một lỗi nào không và liệu có phải là một ứng cử viên hợp lý hay không. Theo độc lập thống kê, tôi có nghĩa là thu được bằng cách sử dụng các số ngẫu nhiên khác nhau, ví dụ: bằng cách sử dụng các trình tạo số ngẫu nhiên được gieo hạt khác nhau (tôi hy vọng đó là thuật ngữ đúng).

E

$E$

S^{2}

$S^2$

{\bar{S}}^{2}

$\bar{S}^2$

E_{i}

$E_i$

— cschwan

Vui lòng giải thích ý của bạn bằng cách không thể "xác định phương sai cho nó bằng " Tôi không thể hiểu điều này bằng cách sử dụng các định nghĩa tiêu chuẩn về phương sai và .

S^{2}

$S^2$

S^{2}

$S^2$

— whuber

Chà, chức năng không thể tích hợp vuông, vì vậy, nếu tôi không nhầm, nên phân kỳ . Nếu đây là trường hợp định nghĩa cho không có nghĩa gì ở nơi đầu tiên, phải không? Tuy nhiên, theo định lý giới hạn trung tâm, vẫn sẽ hội tụ đến giá trị thực của tích phân, nhưng không có lỗi, chỉ riêng giá trị này không có ý nghĩa gì (kết quả này tốt như thế nào?).

S^{2}

$S^2$

S^{2}

$S^2$

E

$E$

— cschwan

Xin lỗi, tôi có ý nói "luật số lượng lớn" tất nhiên, không phải CLT.

— cschwan

Bạn chỉ có thể sử dụng các biện pháp phân tán / tỷ lệ khác, chẳng hạn như phạm vi liên dải, không bị ảnh hưởng bởi tiệm cận đuôi và do đó tính tích phân vuông. Với lợi ích gia tăng mà thường thì nói chung họ mạnh mẽ hơn.

Rõ ràng người ta sẽ áp dụng chúng cho việc lấy mẫu lại / bootstrap theo sau là công cụ ước tính trung bình, không chỉ trực tiếp đến đầu ra thô từ lấy mẫu MC của hàm trước khi lấy trung bình. Bạn cũng có thể kiểm tra các công cụ ước tính L chung và điều chỉnh một trong số chúng để hợp nhất hai bước này thành một để thực hiện, nhưng về mặt tinh thần, hai bản phân phối sẽ không bị nhầm lẫn, mặc dù PDF ước tính sẽ tự nhiên thừa hưởng một số đặc điểm (bao gồm có thể thiếu hình vuông tích hợp).

— Thạch anh
nguồn

+1, tôi nên thêm rằng luật số lượng lớn không yêu cầu khoảnh khắc thứ hai, vì vậy đây là một lời khuyên hoàn toàn tốt.

— mpiktas

Cảm ơn câu trả lời của bạn! Tôi phải thừa nhận rằng tôi đã đọc những thuật ngữ đó lần đầu tiên, nhưng từ khi tìm kiếm chúng ở WP tôi nghĩ rằng câu trả lời của bạn chỉ cho tôi đi đúng hướng. Bạn có thể hoặc ai đó đề nghị một số bài báo hoặc sách giải thích các chủ đề chi tiết hơn?

— cschwan

Bây giờ tôi nhận thấy rằng có lẽ câu trả lời của tôi hơi không rõ ràng. Vì bạn đang mô phỏng nên bạn không thực sự cần phải lấy mẫu lại / bootstrapping, theo lý thuyết bạn chỉ có thể thêm các mẫu mới thay thế và có được phân phối theo kinh nghiệm cho công cụ ước tính trung bình. Chỉ khi tài nguyên là một mối quan tâm thì bạn mới có thể tính toán trung bình một phần và lấy mẫu lại, nhưng số liệu thống kê sẽ không tầm thường nếu được thực hiện tốt. Tôi không phải là chuyên gia boostrap vì vậy tôi sẽ để lại lời khuyên cho người khác, chỉ muốn chỉ ra nếu bạn cần vượt ra ngoài công thức đơn giản. Tập trung vào các biện pháp phân tán trước, tối ưu hóa sau.

— Thạch anh

Công cụ ước tính trung bình được đề xuất không có phương sai hữu hạn. Không có vấn đề gì nếu người ta thêm các mẫu nữa, phân phối theo kinh nghiệm của công cụ ước tính C ALNG sẽ có phương sai không hữu hạn. Bạn có thể xác nhận điều này với một vài mô phỏng.

— rajb245

Chắc chắn, trên thực tế đó là những gì đang được thảo luận và lý do tại sao người ta sẽ sử dụng một biện pháp phân tán khác.

— Quartz