Câu hỏi về trọng số phương sai nghịch đảo

Giả sử chúng ta muốn suy luận về một nhận thức không quan sát được của một biến ngẫu nhiên , thường được phân phối với trung bình và phương sai . Giả sử có một biến ngẫu nhiên khác (có nhận thức không quan sát được, chúng tôi sẽ gọi tương tự ) thường được phân phối với trung bình và phương sai . Đặt là hiệp phương sai của và . $x$ $\tilde x$ $\mu_x$ $\sigma^2_x$ $\tilde y$ $y$ $\mu_y$ $\sigma^2_y$ $\sigma_{xy}$ $\tilde x$ $\tilde y$

Bây giờ, giả sử chúng ta quan sát một tín hiệu trên , trong đó và tín hiệu trên , trong đó . Giả sử rằng và là độc lập. $x$

\begin{aligned} a = x + \tilde{u}, \end{aligned}

$\begin{align}a=x+\tilde u,\end{align}$

\tilde{u} \sim N (0, ϕ_{x}^{2})

$\tilde u\sim\mathcal{N}(0,\phi_x^2)$

y

$y$

\begin{aligned} b = y + \tilde{v}, \end{aligned}

$\begin{align}b=y+\tilde v,\end{align}$

\tilde{v} \sim N (0, ϕ_{y}^{2})

$\tilde v\sim\mathcal{N}(0,\phi_y^2)$

\tilde{u}

$\tilde u$

\tilde{v}

$\tilde v$

Phân phối của điều kiện trên và gì? $x$ $a$ $b$

Những gì tôi biết cho đến nay: Sử dụng trọng số nghịch đảo, và

\begin{aligned} E (x | a) = \frac{\frac{1}{σ_{x}^{2}} μ_{x} + \frac{1}{ϕ_{x}^{2}} a}{\frac{1}{σ_{x}^{2}} + \frac{1}{ϕ_{x}^{2}}}, \end{aligned}

$\begin{align}\mathbb{E}(x\,|\,a)=\frac{\frac{1}{\sigma_x^2}\mu_x+\frac{1}{\phi_x^2}a}{\frac{1}{\sigma_x^2}+\frac{1}{\phi_x^2}},\end{align}$

\begin{aligned} V ar (x | a) = \frac{1}{\frac{1}{σ_{x}^{2}} + \frac{1}{ϕ_{x}^{2}}} . \end{aligned}

$\begin{align} \mathbb{V}\text{ar}(x\,|\,a)=\frac{1}{\frac{1}{\sigma_x^2}+\frac{1}{\phi_x^2}}. \end{align}$

Vì và được vẽ chung, nên mang theo một số thông tin về . Khác với nhận ra điều này, tôi bị mắc kẹt. Bất kỳ trợ giúp được đánh giá cao! $x$ $y$ $b$ $x$

meta-analysis

— xấu_at_math
nguồn

Điều này trông giống hệt như một vài bước đầu tiên về việc tạo ra bộ lọc Kalman. Bạn có thể nhìn vào đạo hàm và suy nghĩ về mức tăng Kalman cho cập nhật ước tính hiệp phương sai tiểu bang. cs.unc.edu/~welch/media/pdf/kalman_intro.pdf

— EngrStudent

Cảm ơn vi đa trả lơi! Tôi đã đọc tài liệu trong liên kết của bạn, nhưng tôi không thấy kết nối với bộ lọc Kalman. Bất kỳ cơ hội bạn có thể xây dựng? Tôi đánh giá cao sự giúp đỡ!

— bad_at_math

@EngrStudent Nếu OP không quen thuộc với bộ lọc Kalman, tôi không thấy điều đó sẽ giúp ích nhiều như thế nào. Thay vào đó, có lẽ bạn có thể giải thích cách tiếp cận vấn đề mà không cần gọi bất kỳ chi tiết cụ thể nào (hoặc biệt ngữ) liên quan đến KF, mặc dù có lẽ sử dụng sự hiểu biết của bạn về vấn đề này để hướng dẫn phản hồi về các chi tiết cụ thể ở đây.

— Glen_b -Reinstate Monica

Đăng chéo tại math.SE tại đây

— Glen_b -Reinstate Monica

Tôi không chắc chắn liệu các công thức trọng số nghịch đảo áp dụng ở đây. Tuy nhiên tôi nghĩ rằng bạn có thể tính toán phân phối có điều kiện của cho và bằng cách giả sử rằng , , và tuân theo phân phối chuẩn nhiều biến số chung. $x$ $a$ $b$ $x$ $y$ $a$ $b$

Cụ thể, nếu bạn giả sử (tương thích với những gì được chỉ định trong câu hỏi) rằng sau đó, cho và , bạn có thể thấy rằng

[\begin{matrix} x \\ y \\ u \\ v \end{matrix}] \sim N ([\begin{matrix} μ_{x} \\ μ_{y} \\ 0 \\ 0 \end{matrix}], [\begin{matrix} σ_{x}^{2} & σ_{x y} & 0 & 0 \\ σ_{x y} & σ_{y}^{2} & 0 & 0 \\ 0 & 0 & ϕ_{x}^{2} & 0 \\ 0 & 0 & 0 & ϕ_{y}^{2} \end{matrix}])

$\begin{equation} \left[\begin{matrix}x \\ y \\ u \\ v \end{matrix}\right] \sim N\left( \left[\begin{matrix}\mu_x \\ \mu_y \\ 0 \\ 0 \end{matrix}\right], \left[\begin{matrix} \sigma^2_x & \sigma_{xy} & 0 & 0 \\ \sigma_{xy} & \sigma^2_y & 0 & 0 \\ 0 & 0 & \phi^2_x & 0 \\ 0 & 0 & 0 & \phi^2_y \end{matrix}\right] \right) \end{equation}$

a = x + u

$a=x+u$

b = y + v

$b=y+v$

[\begin{matrix} x \\ a \\ b \end{matrix}] \sim N ([\begin{matrix} μ_{x} \\ μ_{x} \\ μ_{y} \end{matrix}], [\begin{matrix} σ_{x}^{2} & σ_{x}^{2} & σ_{x y} \\ σ_{x}^{2} & σ_{x}^{2} + ϕ_{x}^{2} & σ_{x y} \\ σ_{x y} & σ_{x y} & σ_{y}^{2} + ϕ_{y}^{2} \end{matrix}]) .

$\begin{equation} \left[\begin{matrix}x \\ a \\ b \end{matrix}\right] \sim N\left( \left[\begin{matrix}\mu_x \\ \mu_x \\ \mu_y \end{matrix}\right], \left[\begin{matrix} \sigma^2_x & \sigma^2_x & \sigma_{xy} \\ \sigma^2_x & \sigma^2_x + \phi^2_x & \sigma_{xy} \\ \sigma_{xy} & \sigma_{xy} & \sigma^2_y + \phi^2_y \end{matrix}\right] \right). \end{equation}$ (Lưu ý rằng ở trên, người ta mặc nhiên cho rằng và độc lập với nhau và với và .)

u

$u$

v

$v$

x

$x$

y

$y$

Từ đó, bạn có thể tìm thấy phân phối có điều kiện của cho và bằng cách sử dụng các thuộc tính tiêu chuẩn của phân phối chuẩn nhiều biến số (xem ví dụ tại đây: http://en.wikipedia.org/wiki/Multivariate_n normal_distribution#Cond điều_distribution ). $x$ $a$ $b$

— a.arfe
nguồn