Khoảng tin cậy cho sản phẩm của hai tham số

Giả sử chúng ta có hai tham số, và . Chúng tôi cũng có hai công cụ ước tính khả năng tối đa và và hai khoảng tin cậy cho các tham số này. Có cách nào để xây dựng khoảng tin cậy cho không? $p_1$ $p_2$ $\hat{p_1}$ $\hat{p_2}$ $p_1p_2$

confidence-interval

— khách mời
nguồn

Bạn có thể sử dụng phương pháp Delta để tính toán lỗi tiêu chuẩn của . Phương thức delta nói rằng xấp xỉ phương sai của hàm được cho bởi: Mặt khác, gần đúng kỳ vọng của được đưa ra bởi: Vì vậy, kỳ vọng chỉ đơn giản là chức năng. Hàm là: . Kỳ vọng của sẽ chỉ đơn giản là: $\hat{p_{1}}\hat{p_{2}}$ $g(t)$

V a r (g (t)) \approx \sum_{i = 1}^{k} g_{i}^{'} (θ)^{2} V a r (t_{i}) + 2 \sum_{i > j} g_{i}^{'} (θ) g_{j}^{'} (θ) C o v (t_{i}, t_{j})

$\mathrm{Var}(g(t))\approx \sum_{i=1}^{k}g'_{i}(\theta)^{2}\mathrm{Var}(t_{i})+2\sum_{i>j}g'_{i}(\theta)g'_{j}(\theta)\mathrm{Cov}(t_{i},t_{j})$

g (t)

$g(t)$

E (g (t)) \approx g (θ)

$\mathrm{\mathbf{E}}(g(t))\approx g(\theta)$

g (t)

$g(t)$

g (p_{1}, p_{2}) = p_{1} p_{2}

$g(p_{1}, p_{2})=p_{1}p_{2}$

g (p_{1}, p_{2}) = p_{1} p_{2}

$g(p_{1}, p_{2})=p_{1}p_{2}$

p_{1} p_{2}

$p_{1}p_{2}$ . Đối với phương sai, chúng ta cần các đạo hàm riêng của :

g (p_{1}, p_{2})

$g(p_{1}, p_{2})$

\begin{aligned} \frac{\partial}{\partial p_{1}} g (p_{1} p_{2}) & = p_{2} \\ \frac{\partial}{\partial p_{2}} g (p_{1} p_{2}) & = p_{1} \end{aligned}

$\begin{align} \frac{\partial}{\partial p_{1}}g(p_{1}p_{2}) & = p_{2} \\ \frac{\partial}{\partial p_{2}}g(p_{1}p_{2}) &= p_{1} \\ \end{align}$

Sử dụng hàm cho phương sai ở trên, chúng ta nhận được:

V a r (\hat{p_{1}} \hat{p_{2}}) = {\hat{p_{2}}}^{2} V a r (\hat{p_{1}}) + {\hat{p_{1}}}^{2} V a r (\hat{p_{2}}) + 2 \cdot \hat{p_{1}} \hat{p_{2}} C o v (\hat{p_{1}}, \hat{p_{2}})

$\mathrm{Var}(\hat{p_{1}}\hat{p_{2}})=\hat{p_{2}}^{2}\mathrm{Var}(\hat{p_{1}}) + \hat{p_{1}}^{2}\mathrm{Var}(\hat{p_{2}})+2\cdot \hat{p_{1}}\hat{p_{2}}\mathrm{Cov}(\hat{p_{1}},\hat{p_{2}})$ Lỗi tiêu chuẩn sau đó sẽ đơn giản là gốc sqare của biểu thức trên. Khi bạn đã gặp lỗi tiêu chuẩn, thật đơn giản để tính khoảng tin cậy 95% cho :

\hat{p_{1}} \hat{p_{2}}

$\hat{p_{1}}\hat{p_{2}}$

\hat{p_{1}} \hat{p_{2}} \pm 1.96 \cdot \hat{S E} (\hat{p_{1}} \hat{p_{2}})

$\hat{p_{1}}\hat{p_{2}}\pm 1.96\cdot \widehat{\mathrm{SE}}(\hat{p_{1}}\hat{p_{2}})$

Để tính toán sai số chuẩn của , bạn cần phương sai của và mà bạn thường có thể nhận được bởi ma trận phương sai hiệp phương sai sẽ là ma trận 2x2 trong trường hợp của bạn vì bạn có hai ước tính. Các phần tử đường chéo trong ma trận hiệp phương sai là phương sai của và trong khi các phần tử nằm ngoài đường chéo là hiệp phương sai của và (ma trận đối xứng). Như @gung đề cập trong các bình luận, ma trận phương sai hiệp phương sai có thể được trích xuất bởi hầu hết các phần mềm thống kê. Đôi khi, các thuật toán ước tính cung cấp $\hat{p_{1}}\hat{p_{2}}$ $\hat{p_{1}}$ $\hat{p_{2}}$ $\Sigma$ $\hat{p_{1}}$ $\hat{p_{2}}$ $\hat{p_{1}}$ $\hat{p_{2}}$ Ma trận Hessian (Tôi sẽ không đi sâu vào chi tiết về điều đó ở đây) và ma trận phương sai hiệp phương sai có thể được ước tính bằng nghịch đảo của Hessian âm (nhưng chỉ khi bạn tối đa hóa khả năng đăng nhập!; Hãy xem bài đăng này ). Một lần nữa, hãy tham khảo tài liệu của phần mềm thống kê của bạn và / hoặc web về cách trích xuất Hessian và về cách tính toán nghịch đảo của ma trận.

Ngoài ra, bạn có thể nhận được phương sai của và từ các khoảng tin cậy theo cách sau (điều này hợp lệ với 95% -CI): . Đối với -CI, lỗi tiêu chuẩn ước tính là: , trong đó là lượng tử của phân phối chuẩn thông thường (cho , ). Sau đó, $\hat{p_{1}}$ $\hat{p_{2}}$ $\mathrm{SE}(\hat{p_{1}})=(\text{upper limit} - \text{lower limit})/3.92$ $100(1-\alpha)\%$ $\mathrm{SE}(\hat{p_{1}})=(\text{upper limit} - \text{lower limit})/(2\cdot z_{1-\alpha/2})$ $z_{1-\alpha/2}$ $(1-\alpha/2)$ $\alpha=0.05$ $z_{0.975}\approx 1.96$ $\mathrm{Var}(\hat{p_{1}}) = \mathrm{SE}(\hat{p_{1}})^{2}$ . Điều này cũng đúng với phương sai của . Chúng ta cũng cần hiệp phương sai của và (xem đoạn trên). Nếu và là độc lập, hiệp phương sai bằng 0 và chúng ta có thể bỏ thuật ngữ này. $\hat{p_{2}}$ $\hat{p_{1}}$ $\hat{p_{2}}$ $\hat{p_{1}}$ $\hat{p_{2}}$

Bài viết này có thể cung cấp thêm thông tin.

— COOLSerdash
nguồn

+1. Phương sai của các tham số & hiệp phương sai của chúng có thể được tìm thấy bằng cách kiểm tra ma trận phương sai hiệp phương sai của , mà hầu hết các phần mềm thống kê có thể cung cấp. Ví dụ, trong R, nó vcov? ; & in SAS, được thêm dưới dạng tùy chọn cho câu lệnh mô hình trong PROC REG .

β

$\boldsymbol\beta$ covb

— gung - Phục hồi Monica

@gung Về quan điểm giáo dục, có thể đáng để chỉ ra (vì tôi biết nó làm cho một số người nhầm lẫn) rằng đó thực sự là ma trận hiệp phương sai của chứ không phải (và thực tế nó thậm chí không thực sự như vậy , vì độ lệch chuẩn phải được ước tính từ mẫu, do đó, đây thực sự là ma trận phương sai hiệp phương sai ước tính ..)

\hat{β}

$\hat \beta$

β

$\beta$

— Silverfish

@Silverfish, hợp lệ bị trừng phạt. Lần tới tôi sẽ nói "ma trận hiệp phương sai ước tính của ".

\hat{β}

$\boldsymbol{\hat\beta}$

— gung - Phục hồi Monica

Bạn có thể thử xây dựng một chức năng khả năng hồ sơ! và xây dựng khoảng tin cậy từ đó.

— kjetil b halvorsen

Không phải vì đó là tham số?

v a r (p_{1}) = 0

$var(p_1)=0$

— dùng0

Tôi tìm thấy một phương trình khác nhau để tính phương sai của sản phẩm.

Nếu x và y được phân phối độc lập, phương sai của sản phẩm tương đối đơn giản: V (x * y) = V (y) * E (x) ^ 2 + V (x) * E (y) ^ 2 + V ( x) * V (y) Những kết quả này cũng tổng quát cho các trường hợp liên quan đến ba biến trở lên (Goodman 1960). Nguồn: Điều tiết thuốc trừ sâu (1980), phụ lục F

Coolserdash: Thành phần cuối cùng V (x) * V (y) bị thiếu trong phương trình của bạn. Là cuốn sách tham khảo (Điều tiết thuốc trừ sâu) sai?

Ngoài ra, cả hai phương trình có thể không hoàn hảo. " ... chúng tôi cho thấy rằng việc phân phối sản phẩm của ba biến bình thường độc lập là không bình thường ." ( nguồn ). Tôi sẽ mong đợi một số sai lệch tích cực ngay cả trong sản phẩm của hai biến phân phối thông thường.

— Marekernierny
nguồn

Độ dài của CI / 2 / 1.96 = se, nghĩa là lỗi tiêu chuẩn của A hoặc B
se ^ 2 = var, tức là phương sai của ước tính A hoặc B
Sử dụng ước tính A hoặc B làm phương tiện của A hoặc B, tức là E (A) hoặc E (B)
Theo dõi trang này http://falkenblog.blogspot.se/2008/07/formula-for-varxy.html để lấy var (A * B), tức là var (C)
Căn bậc hai của var (C) là se của C
(C - 1,96 * se (C), C + 1,96 * se (C)) là 95% CI của C

Lưu ý rằng nếu A và B của bạn tương quan với nhau, bạn cũng cần xem xét hiệp phương sai của chúng.

— Cà phê đá
nguồn